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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

x = 45, - \frac{105}{11}

x=45 , -\frac{105}{11}

Forma de número mixto:

x = 45, - 9 \frac{6}{11}

x=45 , -9\frac{6}{11}

Forma decimal:

x = 45, - 9.545

x=45 , -9.545

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| \frac{1}{3} x + 5 | = | \frac{2}{5} x + 2 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{3} x + 5 \| = \| \frac{2}{5} x + 2 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$
$x = - y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = - (\frac{2}{5} x + 2)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{3} x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{3} x + 5 \| = \| \frac{2}{5} x + 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = - (\frac{2}{5} x + 2)$

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

21 pasos adicionales

$(\frac{1}{3} \cdot x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{1}{3} x + 5) - \frac{2}{5} \cdot x = (\frac{2}{5} x + 2) - \frac{2}{5} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{3} \cdot x + \frac{- 2}{5} \cdot x) + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{3} + \frac{- 2}{5}) x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)} + \frac{(- 2 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)}) x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{15} + \frac{(- 2 \cdot 3)}{15}) x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{5}{15} + \frac{- 6}{15}) x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(5 - 6)}{15} \cdot x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{- 1}{15} \cdot x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{- 1}{15} \cdot x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + \frac{- 2}{5} x) + 2$

Combinar las fracciones:

$\frac{- 1}{15} \cdot x + 5 = \frac{(2 - 2)}{5} x + 2$

Combinar los numeradores:

$\frac{- 1}{15} \cdot x + 5 = \frac{0}{5} x + 2$

Reducir el numerador cero:

$\frac{- 1}{15} x + 5 = 0 x + 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{15} x + 5 = 2$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{- 1}{15} x + 5) - 5 = 2 - 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{15} x = 2 - 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{- 1}{15} x = - 3$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{- 1}{15} x) \cdot \frac{15}{- 1} = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{- 1}{15} \cdot - 15) x = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 1 \cdot - 15)}{15} x = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

Simplificar la expresión aritmética:

$1 x = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

$x = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = 45$

22 pasos adicionales

$(\frac{1}{3} x + 5) = - (\frac{2}{5} x + 2)$

Desarrollar los paréntesis:

$(\frac{1}{3} \cdot x + 5) = \frac{- 2}{5} x - 2$

Sumar a ambos lados:

$(\frac{1}{3} x + 5) + \frac{2}{5} \cdot x = (\frac{- 2}{5} x - 2) + \frac{2}{5} x$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{3} \cdot x + \frac{2}{5} \cdot x) + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{3} + \frac{2}{5}) x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Averiguar el mínimo denominador común:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)} + \frac{(2 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)}) x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Multiplicar los denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{15} + \frac{(2 \cdot 3)}{15}) x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Multiplicar los numeradores:

$(\frac{5}{15} + \frac{6}{15}) x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Combinar las fracciones:

$\frac{(5 + 6)}{15} \cdot x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Combinar los numeradores:

$\frac{11}{15} \cdot x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{11}{15} \cdot x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x + \frac{2}{5} x) - 2$

Combinar las fracciones:

$\frac{11}{15} \cdot x + 5 = \frac{(- 2 + 2)}{5} x - 2$

Combinar los numeradores:

$\frac{11}{15} \cdot x + 5 = \frac{0}{5} x - 2$

Reducir el numerador cero:

$\frac{11}{15} x + 5 = 0 x - 2$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{11}{15} x + 5 = - 2$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{11}{15} x + 5) - 5 = - 2 - 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{11}{15} x = - 2 - 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{11}{15} x = - 7$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{11}{15} x) \cdot \frac{15}{11} = - 7 \cdot \frac{15}{11}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{11}{15} \cdot \frac{15}{11}) x = - 7 \cdot \frac{15}{11}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(11 \cdot 15)}{(15 \cdot 11)} x = - 7 \cdot \frac{15}{11}$

Simplificar la fracción:

$x = - 7 \cdot \frac{15}{11}$

Multiplicar las fracciones:

$x = \frac{(- 7 \cdot 15)}{11}$

Simplificar la expresión aritmética:

$x = \frac{- 105}{11}$

3. Lista las soluciones

$x = 45, - \frac{105}{11}$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | \frac{1}{3} x + 5 |$
$y = | \frac{2}{5} x + 2 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para x

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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