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Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Forma exacta:

y = - 13, - 1

y=-13 , -1

Ver los pasos

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

Usa las reglas:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ y $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escribir todas las cuatro opciones de la ecuación
$| 2 y + 5 | = \frac{1}{2} | 3 y - 3 |$
sin las barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 y + 5 \| = \frac{1}{2} \| 3 y - 3 \|$
$x = + y$	$(2 y + 5) = \frac{1}{2} (3 y - 3)$
$x = - y$	$(2 y + 5) = \frac{1}{2} (- (3 y - 3))$
$+ x = y$	$(2 y + 5) = \frac{1}{2} (3 y - 3)$
$- x = y$	$- (2 y + 5) = \frac{1}{2} (3 y - 3)$

Cuando se simplifican, las ecuaciones $x = + y$ y $+ x = y$ son las mismas y las ecuaciones $x = - y$ y $- x = y$ son las mismas, por lo que terminamos con solo 2 ecuaciones:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 y + 5 \| = \frac{1}{2} \| 3 y - 3 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(2 y + 5) = \frac{1}{2} (3 y - 3)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(2 y + 5) = \frac{1}{2} (- (3 y - 3))$

2. Resuelve las dos ecuaciones para y

23 pasos adicionales

$(2 y + 5) = \frac{1}{2} \cdot (3 y - 3)$

Multiplicar las fracciones:

$(2 y + 5) = \frac{(1 \cdot (3 y - 3))}{2}$

Fragmentar la fracción:

$(2 y + 5) = \frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}$

Sustraer en ambos lados:

$(2 y + 5) - \frac{3 y}{2} = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 y}{2}$

Agrupar términos semejantes:

$(2 y + \frac{- 3}{2} y) + 5 = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 y}{2}$

Agrupar coeficientes:

$(2 + \frac{- 3}{2}) y + 5 = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 y}{2}$

Convertir el número entero en una fracción:

$(\frac{4}{2} + \frac{- 3}{2}) y + 5 = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 y}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{(4 - 3)}{2} y + 5 = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 y}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{1}{2} y + 5 = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 y}{2}$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{1}{2} \cdot y + 5 = (\frac{3 y}{2} + \frac{- 3}{2} y) + \frac{- 3}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{1}{2} \cdot y + 5 = \frac{(3 - 3)}{2} y + \frac{- 3}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{1}{2} \cdot y + 5 = \frac{0}{2} y + \frac{- 3}{2}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{1}{2} y + 5 = 0 y + \frac{- 3}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{2} y + 5 = \frac{- 3}{2}$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{1}{2} y + 5) - 5 = (\frac{- 3}{2}) - 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{1}{2} y = (\frac{- 3}{2}) - 5$

Convertir el número entero en una fracción:

$\frac{1}{2} y = \frac{- 3}{2} + \frac{- 10}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{1}{2} y = \frac{(- 3 - 10)}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{1}{2} y = \frac{- 13}{2}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{1}{2} y) \cdot \frac{2}{1} = (\frac{- 13}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{1}{2} \cdot 2) y = (\frac{- 13}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(1 \cdot 2)}{2} y = (\frac{- 13}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Simplificar la fracción:

$y = (\frac{- 13}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Multiplicar las fracciones:

$y = \frac{(- 13 \cdot 2)}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$y = - 13$

24 pasos adicionales

$(2 y + 5) = \frac{1}{2} \cdot (- (3 y - 3))$

Multiplicar las fracciones:

$(2 y + 5) = \frac{(1 \cdot (- (3 y - 3)))}{2}$

Desarrollar los paréntesis:

$(2 y + 5) = \frac{(- 3 y + 3)}{2}$

Fragmentar la fracción:

$(2 y + 5) = \frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}$

Sumar a ambos lados:

$(2 y + 5) + \frac{3}{2} \cdot y = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} y$

Agrupar términos semejantes:

$(2 y + \frac{3}{2} \cdot y) + 5 = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} y$

Agrupar coeficientes:

$(2 + \frac{3}{2}) y + 5 = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} y$

Convertir el número entero en una fracción:

$(\frac{4}{2} + \frac{3}{2}) y + 5 = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} y$

Combinar las fracciones:

$\frac{(4 + 3)}{2} \cdot y + 5 = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} y$

Combinar los numeradores:

$\frac{7}{2} \cdot y + 5 = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} y$

Agrupar términos semejantes:

$\frac{7}{2} \cdot y + 5 = (\frac{- 3 y}{2} + \frac{3}{2} y) + \frac{3}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{7}{2} \cdot y + 5 = \frac{(- 3 + 3)}{2} y + \frac{3}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{7}{2} \cdot y + 5 = \frac{0}{2} y + \frac{3}{2}$

Reducir el numerador cero:

$\frac{7}{2} y + 5 = 0 y + \frac{3}{2}$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{7}{2} y + 5 = \frac{3}{2}$

Sustraer en ambos lados:

$(\frac{7}{2} y + 5) - 5 = (\frac{3}{2}) - 5$

Simplificar la expresión aritmética:

$\frac{7}{2} y = (\frac{3}{2}) - 5$

Convertir el número entero en una fracción:

$\frac{7}{2} y = \frac{3}{2} + \frac{- 10}{2}$

Combinar las fracciones:

$\frac{7}{2} y = \frac{(3 - 10)}{2}$

Combinar los numeradores:

$\frac{7}{2} y = \frac{- 7}{2}$

Multiplicar ambos lados por la fracción inversa :

$(\frac{7}{2} y) \cdot \frac{2}{7} = (\frac{- 7}{2}) \cdot \frac{2}{7}$

Agrupar términos semejantes:

$(\frac{7}{2} \cdot \frac{2}{7}) y = (\frac{- 7}{2}) \cdot \frac{2}{7}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(7 \cdot 2)}{(2 \cdot 7)} y = (\frac{- 7}{2}) \cdot \frac{2}{7}$

Simplificar la fracción:

$y = (\frac{- 7}{2}) \cdot \frac{2}{7}$

Multiplicar las fracciones:

$y = \frac{(- 7 \cdot 2)}{(2 \cdot 7)}$

Simplificar la expresión aritmética:

$y = - 1$

3. Lista las soluciones

$y = - 13, - 1$
(2 solución(es))

4. Grafica

Cada línea representa la función de un lado de la ecuación:
$y = | 2 y + 5 |$
$y = \frac{1}{2} | 3 y - 3 |$
La ecuación es válida donde las dos líneas se cruzan.

¿Cómo lo hicimos?

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Para qué aprender esto

Encontramos valores absolutos casi todos los días. Por ejemplo: Si caminas 3 millas a la escuela, ¿también caminas menos 3 millas cuando vuelves a casa? La respuesta es no porque las distancias utilizan el valor absoluto. El valor absoluto de la distancia entre la casa y la escuela es de 3 millas, ya sea de ida o de vuelta.
En resumen, los valores absolutos nos ayudan a lidiar con conceptos como distancia, rangos de valores posibles y desviación de un valor establecido.

Solución - Ecuaciones de valor absoluto

Explicación paso a paso

1. Reescribe la ecuación sin barras de valor absoluto

2. Resuelve las dos ecuaciones para y

3. Lista las soluciones

4. Grafica

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