Solusyon - Mga katangian ng mga ellipses

$$h$$ kumakatawan sa x-offset mula sa pinagmulan.
$$k$$ kumakatawan sa y-offset mula sa pinagmulan.
Upang matukoy ang mga halaga ng $$h$$ at $$k$$, gamitin ang pahalang na standard form ng ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{5}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Sentro: $$\left(0,0\right)$$

Ang $$a$$ ay kumakatawan sa mas mahabang radius ng ellipse, na katumbas sa kalahati ng pangunahing eksen. Tinatawag itong semi-major axis.
Upang hanapin ang halaga ng $$a$$, gamitin ang pahalang na standard form ng ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{5}=1$$
$$a^2=25$$
Kumuhang square root sa magkabilang panig ng equation:
$$a=5$$

Dahil ang $$a$$ ay kumakatawan sa isang distansya, ito ay may lamang positive na halaga.

Sa isang pahalang na ellipse, ang pangunahing eksen ay tumatakbo pahalang sa x-eksen at dumadaan sa mga vertices ng ellipse. Hanapin ang mga vertices sa pamamagitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng $$a$$ mula sa x-koordinatang $$\left(h\right)$$ ng sentro.

Upang mahanap ang vertex_1, idagdag ang $$a$$ sa x-coordinate $$\left(h\right)$$ ng sentro:
Vertex_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=5$$
Vertex_1: $$\left(0+5,0\right)$$
Vertex_1: $$\left(5;0\right)$$

Upang mahanap ang vertex_2, ibawas ang $$a$$ mula sa x-coordinate ($$h$$) ng sentro:
Vertex_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=5$$
Vertex_2: $$\left(0-5,0\right)$$
Vertex_2: $$\left(-5;0\right)$$

Ang $$b$$ ay kumakatawan sa mas maikling radius ng ellipse, na katumbas ng kalahati ng maliit na eje. Ito ang tinatawag na semi-minor axis.
Upang mahanap ang halaga ng $$b$$, gamitin ang pormulang standard ng horizontal ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{5}=1$$
$$b^2=5$$
Kunin ang square root ng parehong panig ng equation:
$$b=2.236$$
Dahil ang b ay kumakatawan sa distansya, ito ay may positibong halaga lamang.

Sa isang pahalang na ellipse, ang maliit na eje ay tumatakbo nang paralelo sa y-axis at dumadaan sa co-vertices ng ellipse.
Hanapin ang mga co-vertices sa pamamagitan ng pagdagdag at pagbabawas ng $$b$$ mula sa y-coordinate $$\left(k\right)$$ ng sentro.

Upang mahanap ang co-vertex_1, idagdag ang $$b$$ sa y-coordinate $$\left(k\right)$$ ng sentro:
Co-vertex_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=2.236$$
Co-vertex_1: $$\left(0,0+2.236\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(0;2.236\right)$$

Upang mahanap ang co-vertex_2, ibawas ang $$b$$ mula sa y-coordinate $$\left(k\right)$$ ng sentro:
Co-vertex_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=2.236$$
Co-vertex_2: $$\left(0,0-2.236\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(0;-2.236\right)$$

Ang haba ng focal ay ang kahabaan mula sa sentro ng ellipse hanggang sa bawat focal point at karaniwang kinakatawan ng $$f$$.

Upang mahanap ang $$f$$, gamitin ang formula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=25$$
$$b^2=5$$
Isaksak ang $$a^2$$ at $$b^2$$ sa formula at pinasimple:

$$f=\sqrt{25-5}$$

$$f=\sqrt{20}$$

$$f=4.472$$

Dahil ang $$f$$ ay kumakatawan sa isang distansya, ito ay may positibong halaga lamang.

Sa isang pahabang ellipse, ang pangunahing aksis ay tumatakbo nang pahalang sa x-axis at sa pamamagitan ng mga foci.
Hanapin ang mga foci sa pamamagitan ng pagdadagdag at pagbabawas ng $$f$$ sa x-coordinate $$\left(h\right)$$ ng gitna.

Upang mahanap ang focus_1, idagdag ang $$f$$ sa x-coordinate $$\left(h\right)$$ ng sentro:
Focus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Sentro: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=4.472$$
Focus_1: $$\left(0+4.472,0\right)$$
Focus_1: $$\left(4.472;0\right)$$

Upang mahanap ang focus_2, ibawas ang $$f$$ sa x-coordinate $$\left(h\right)$$ ng sentro:
Focus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Sentro: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=4.472$$
Focus_2: $$\left(0-4.472,0\right)$$
Focus_2: $$\left(-4.472;0\right)$$

Gamitin ang formula para sa lugar ng isang ellipse upang mahanap ang lugar ng ellipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=5$$
$$b=2.236$$
Isaksak ang $$a$$ at $$b$$ sa formula at palakihin:

$$\pi ·5·2.236$$

$$\pi ·11.18$$

Ang lugar ay katumbas ng $$11.18\pi$$

Upang mahanap ang x-intercept(s), isaksak ang $$0$$ para sa $$y$$ sa standard na equation ng ellipse at lutasin ang resultang quadratic equation para sa $$x$$.
Mag-click dito para sa isang hakbang-hakbang na paliwanag ng quadratic equation.

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{5}=1$$

$$\frac{x^2}{25}+\frac{0^2}{5}=1$$

$$x_1=5$$

$$x_2=-5$$

Upang mahanap ang y-intercept(s), isaksak ang $$0$$ para sa $$x$$ sa standard na equation ng ellipse at lutasin ang resultang quadratic equation para sa $$y$$.
Mag-click dito para sa isang hakbang-hakbang na paliwanag ng quadratic equation.

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{5}=1$$

$$\frac{0^2}{25}+\frac{y^2}{5}=1$$

$$y_1=2.236$$

$$y_2=-2.236$$

Upang mahanap ang eccentricity, gamitin ang formula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=25$$
$$b^2=5$$
$$a=5$$
Isaksak ang $$a^2$$ , $$b^2$$ at $$a$$ sa formula:

$$\frac{\sqrt{25-5}}{5}$$

$$\frac{\sqrt{20}}{5}$$

$$\frac{4.472}{5}$$

$$0.894$$

Ang eccentricity ay katumbas ng $$0.894$$