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Solution - Équations à valeur absolue

Forme exacte :

x = 9, \frac{33}{2}

x=9 , \frac{33}{2}

Forme de nombre mélangé :

x = 9, 16 \frac{1}{2}

x=9 , 16\frac{1}{2}

Forme décimale :

x = 9, 16, 5

x=9 , 16,5

Voir les étapes

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

Utilisez les règles:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ et $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
Pour écrire toutes les quatre options de l'équation
$| \frac{1}{2} x - 7 | = | \frac{1}{6} x - 4 |$
Sans les barres de valeur absolue:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 7 \| = \| \frac{1}{6} x - 4 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = - (\frac{1}{6} x - 4)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$

Une fois simplifiées, les équations $x = + y$ et $+ x = y$ sont identiques, et les équations $x = - y$ et $- x = y$ sont également identiques, nous avons donc seulement 2 équations :

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 7 \| = \| \frac{1}{6} x - 4 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = - (\frac{1}{6} x - 4)$

2. Résoudre les deux équations pour x

22 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{2} \cdot x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$

Soustraire des deux côtés:

$(\frac{1}{2} x - 7) - \frac{1}{6} \cdot x = (\frac{1}{6} x - 4) - \frac{1}{6} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{6} \cdot x) - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 1}{6}) x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{- 1}{6}) x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{- 1}{6}) x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{3}{6} + \frac{- 1}{6}) x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(3 - 1)}{6} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{2}{6} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$\frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$\frac{1}{3} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{1}{3} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x + \frac{- 1}{6} x) - 4$

Combiner les fractions:

$\frac{1}{3} \cdot x - 7 = \frac{(1 - 1)}{6} x - 4$

Combiner les numérateurs:

$\frac{1}{3} \cdot x - 7 = \frac{0}{6} x - 4$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{1}{3} x - 7 = 0 x - 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{3} x - 7 = - 4$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{1}{3} x - 7) + 7 = - 4 + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{3} x = - 4 + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{1}{3} x = 3$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{1}{3} x) \cdot \frac{3}{1} = 3 \cdot \frac{3}{1}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{3} \cdot 3) x = 3 \cdot \frac{3}{1}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(1 \cdot 3)}{3} x = 3 \cdot \frac{3}{1}$

Simplifier la fraction:

$x = 3 \cdot \frac{3}{1}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = 9$

24 étapes supplémentaires

$(\frac{1}{2} x - 7) = - (\frac{1}{6} x - 4)$

Développer les parenthèses:

$(\frac{1}{2} \cdot x - 7) = \frac{- 1}{6} x + 4$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{1}{2} x - 7) + \frac{1}{6} \cdot x = (\frac{- 1}{6} x + 4) + \frac{1}{6} x$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{6} \cdot x) - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Coefficients du groupe:

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}) x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Trouver le plus petit dénominateur commun:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{1}{6}) x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Multiplier les dénominateurs:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{1}{6}) x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Multiplier les numérateurs:

$(\frac{3}{6} + \frac{1}{6}) x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Combiner les fractions:

$\frac{(3 + 1)}{6} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Combiner les numérateurs:

$\frac{4}{6} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Trouver le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur:

$\frac{(2 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Éliminer et annuler le plus grand facteur commun:

$\frac{2}{3} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Collecter des termes semblables:

$\frac{2}{3} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + \frac{1}{6} x) + 4$

Combiner les fractions:

$\frac{2}{3} \cdot x - 7 = \frac{(- 1 + 1)}{6} x + 4$

Combiner les numérateurs:

$\frac{2}{3} \cdot x - 7 = \frac{0}{6} x + 4$

Réduire le numérateur zéro:

$\frac{2}{3} x - 7 = 0 x + 4$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{2}{3} x - 7 = 4$

Additionner des deux côtés:

$(\frac{2}{3} x - 7) + 7 = 4 + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{2}{3} x = 4 + 7$

Simplifier l’expression arithmétique:

$\frac{2}{3} x = 11$

Multiplier les deux côtés par la fraction inverse :

$(\frac{2}{3} x) \cdot \frac{3}{2} = 11 \cdot \frac{3}{2}$

Collecter des termes semblables:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}) x = 11 \cdot \frac{3}{2}$

Multiplier les coefficients:

$\frac{(2 \cdot 3)}{(3 \cdot 2)} x = 11 \cdot \frac{3}{2}$

Simplifier la fraction:

$x = 11 \cdot \frac{3}{2}$

Multiplier les fractions:

$x = \frac{(11 \cdot 3)}{2}$

Simplifier l’expression arithmétique:

$x = \frac{33}{2}$

3. Lister les solutions

$x = 9, \frac{33}{2}$
(2 solution(s))

4. Graphe

Chaque ligne représente la fonction d'un côté de l'équation:
$y = | \frac{1}{2} x - 7 |$
$y = | \frac{1}{6} x - 4 |$
L'équation est vraie là où les deux lignes se croisent.

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Nous rencontrons presque quotidiennement des valeurs absolues. Par exemple : si vous marchez 3 miles pour aller à l'école, marchez-vous aussi 3 miles en sens inverse lorsque vous rentrez à la maison ? La réponse est non car les distances utilisent une valeur absolue. La valeur absolue de la distance entre la maison et l'école est de 3 miles, que ce soit pour l'aller ou le retour.
En bref, les valeurs absolues nous aident à gérer des concepts comme la distance, les fourchettes de valeurs possibles, et l'écart par rapport à une valeur fixée.

Solution - Équations à valeur absolue

Explication étape par étape

1. Réécrire l'équation sans les barres de valeur absolue

2. Résoudre les deux équations pour x

3. Lister les solutions

4. Graphe

Pourquoi apprendre cela

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