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Solution - Dérivées

\frac{18 x^{2}}{6 x^{3} + 5}

\frac{18 x^{2}}{6 x^{3} + 5}

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Explication étape par étape

1. Résoudre la dérivée

2 étapes supplémentaires

Calcul de la dérivée d'une fonction logarithme en utilisant la règle de la chaîne.

$\frac{d}{d x} [\ln (6 x^{3} + 5)] = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 5]$

Décomposer la fonction pour la règle de la chaîne.

$\frac{d}{d x} [\ln (6 x^{3} + 5)] = \frac{d}{d x} [\ln (x)] \times \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 5]$

Calcul de la dérivée d'une fonction logarithme naturel.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] \times \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 5] = \frac{1}{x} \times \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 5]$

Remplacer la variable par la fonction.

$\frac{1}{x} \times \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 5] = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 5]$

Application de la règle de la somme des dérivées.

$\frac{1}{6 x^{3} + 5} \times \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 5] = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5])$

Application de la règle du produit des dérivées.

$\frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times ((\frac{d}{d x} [6] \times x^{3} + 6 \times \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5])$

La dérivée d'une valeur constante est toujours zéro.

$\frac{1}{6 x^{3} + 5} \times ((\frac{d}{d x} [6] \times x^{3} + 6 \times \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5]) = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times ((0 x^{3} + 6 \times \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5])$

Multiplier un nombre par zéro donne toujours zéro.

$\frac{1}{6 x^{3} + 5} \times ((0 x^{3} + 6 \times \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5]) = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times ((0 + 6 \times \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5])$

Ajouter zéro à un nombre, ce qui ne change pas sa valeur.

$\frac{1}{6 x^{3} + 5} \times ((0 + 6 \times \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [5]) = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (6 \times \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5])$

Calcul de la dérivée de x élevé à la puissance n.

$\frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (6 \times \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (6 \times (3 x^{3 - 1}) + \frac{d}{d x} [5])$

Soustraire un nombre à un autre.

$\frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (6 \times (3 x^{3 - 1}) + \frac{d}{d x} [5]) = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (6 \times (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5])$

La multiplication peut être regroupée différemment, mais le résultat reste le même.

$\frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (6 \times (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]) = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times ((6 \times 3) \times x^{2} + \frac{d}{d x} [5])$

Multiplier deux entiers ensemble.

$\frac{1}{6 x^{3} + 5} \times ((6 \times 3) \times x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (18 x^{2} + \frac{d}{d x} [5])$

La dérivée d'une valeur constante est toujours zéro.

$\frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (18 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (18 x^{2} + 0)$

Ajouter zéro à un nombre, ce qui ne change pas sa valeur.

$\frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (18 x^{2} + 0) = \frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (18 x^{2})$

Simplification des expressions arithmétiques.

$\frac{1}{6 x^{3} + 5} \times (18 x^{2}) = \frac{18 x^{2}}{6 x^{3} + 5}$

Comment nous en sommes-nous sortis ?

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Pourquoi apprendre cela

Vous êtes-vous déjà demandé comment prédire l'avenir ? Les dérivées sont votre boule de cristal !

Imaginez ceci : Vous êtes un surfeur essayant d'attraper la plus grande vague. Comment savez-vous quand elle va venir ? Les dérivées peuvent vous dire quand elle est à son point le plus haut !

Science des fusées : Vous prévoyez de lancer une fusée vers Mars ? Les dérivées nous indiquent le taux de combustion optimal du carburant pour minimiser la consommation de carburant et maximiser la distance !

Marché boursier : Vous faites du trading sur le marché boursier ? Les dérivées peuvent indiquer le taux auquel les prix des actions changent, aidant à prévoir le meilleur moment pour acheter ou vendre.

Animation : Vous aimez les films d'animation ? Les artistes utilisent les dérivées pour changer en douceur le mouvement et les expressions des personnages, les rendant plus vivants.

Ingénierie : Vous concevez un pont ou un gratte-ciel ? Les dérivées aident à déterminer les taux de changement de contrainte et de déformation dans les matériaux, garantissant la sécurité de vos structures.

En somme, les dérivées sont comme un code secret pour comprendre le changement et faire des prédictions dans la vie réelle. Alors, décryptons ce code ensemble et devenons maîtres de notre avenir !

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