Solution - Propriétés des ellipses

$$h$$ représente le décalage en x par rapport à l'origine.
$$k$$ représente le décalage en y par rapport à l'origine.
Pour trouver les valeurs de $$h$$ et $$k$$, utilisez la forme standard de l'ellipse verticale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{42}}+\frac{y^2}{2}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Centre: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ représente le rayon le plus long de l'ellipse, qui est égal à la moitié de l'axe majeur.
Ceci est appelé l'axe semi-majeur.
Pour trouver la valeur de $$a$$, utilisez la forme standard de l'ellipse verticale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{42}}+\frac{y^2}{2}=1$$
$$a^2=2$$
Prenez la racine carrée des deux côtés de l'équation:
$$a=1,414$$

Parce que $$a$$ représente une distance, il n'a qu'une valeur positive.

Dans une ellipse verticale, l'axe majeur est parallèle à l'axe des y et passe par les sommets de l'ellipse. Trouvez les sommets en ajoutant et en soustrayant $$a$$ à la coordonnée y ($$k$$) du centre.

Pour trouver le sommet_1, ajoutez $$a$$ à la coordonnée y ($$k$$) du centre:
Sommet_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=1.414$$
Sommet_1: $$\left(0,0+1.414\right)$$
Sommet_1: $$\left(0;1.414\right)$$

Pour trouver le sommet_2, soustrayez $$a$$ de la coordonnée y ($$k$$) du centre:
Sommet_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=1,414$$
Sommet_2: $$\left(0,0-1,414\right)$$
Sommet_2: $$\left(0;-1,414\right)$$

$$b$$ représente le rayon le plus court de l'ellipse, qui équivaut à la moitié de l'axe mineur. On appelle cela l'axe semi-mineur.
Pour trouver la valeur de $$b$$, utilisez la forme standard de l'ellipse verticale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{42}}+\frac{y^2}{2}=1$$
$$b^2=\frac{1}{42}$$
Prenez la racine carrée des deux côtés de l'équation:
$$b=0,154$$
Comme b représente une distance, il a seulement une valeur positive.

Dans une ellipse verticale, l'axe mineur est parallèle à l'axe des x et passe par les co-vertices de l'ellipse.
Trouvez les co-vertices en ajoutant et en soustrayant $$b$$ à l'abscisse ($$h$$) du centre.

Pour trouver co-vertex_1, ajoutez $$b$$ à l'abscisse ($$h$$) du centre:
Co-vertex_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=0,154$$
Co-vertex_1: $$\left(0+0,154,0\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(0,154;0\right)$$

Pour trouver co-vertex_2, soustrayez $$b$$ de l'abscisse ($$h$$) du centre:
Co-vertex_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=0,154$$
Co-vertex_2: $$\left(0-0,154,0\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(-0,154;0\right)$$

La distance focale est la distance entre le centre de l'ellipse et chaque point focal et est généralement représentée par $$f$$.

Pour trouver $$f$$, utilisez la formule:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=2$$
$$b^2=\frac{1}{42}$$
Insérez $$a^2$$ et $$b^2$$ dans la formule et simplifiez:

$$f=\sqrt{2-\frac{1}{42}}$$

$$f=\sqrt{\frac{83}{42}}$$

$$f=1,406$$

Parce que $$f$$ représente une distance, il n'a qu'une valeur positive.

Dans une ellipse verticale, l'axe majeur est parallèle à l'axe des y et traverse les foyers.
Trouvez les foyers en ajoutant et soustrayant $$f$$ à l'ordonnée $$\left(k\right)$$ du centre.

Pour trouver le focus_1, ajoutez $$f$$ à la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre :
Focus_1 : $$\left(h,k+f\right)$$
Centre : $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=1,406$$
Focus_1 : $$\left(0,0+1,406\right)$$
Focus_1 : $$\left(0;1,406\right)$$

Pour trouver le focus_2, soustrayez $$f$$ de la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre :
Focus_2 : $$\left(h,k-f\right)$$
Centre : $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=1,406$$
Focus_2 : $$\left(0,0-1,406\right)$$
Focus_2 : $$\left(0;-1,406\right)$$

Utilisez la formule de l'aire d'une ellipse pour trouver l'aire de l'ellipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=1,414$$
$$b=0,154$$
Insèrez $$a$$ et $$b$$ dans la formule et simplifiez:

$$\pi ·1,414·0,154$$

$$\pi ·0,218$$

L'aire est égale à $$0,218\pi$$

Pour trouver l'interception-x(s), insérez $$0$$ pour $$y$$ dans l'équation standard de l'ellipse et résolvez l'équation quadratique résultante pour $$x$$.
Cliquez ici pour une explication étape par étape de l'équation quadratique.

$$\frac{x^2}{\frac{1}{42}}+\frac{y^2}{2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{42}}+\frac{0^2}{2}=1$$

$$x_1=0,154$$

$$x_2=-0,154$$

Pour trouver l'interception-y(s), insérez $$0$$ pour $$x$$ dans l'équation standard de l'ellipse et résolvez l'équation quadratique résultante pour $$y$$.
Cliquez ici pour une explication étape par étape de l'équation quadratique.

$$\frac{x^2}{\frac{1}{42}}+\frac{y^2}{2}=1$$

$$\frac{0^2}{\frac{1}{42}}+\frac{y^2}{2}=1$$

$$y_1=1,414$$

$$y_2=-1,414$$

Pour trouver l'excentricité, utilisez la formule:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=2$$
$$b^2=\frac{1}{42}$$
$$a=1,414$$
Insérer $$a^2$$ , $$b^2$$ et $$a$$ dans la formule:

$$\frac{\sqrt{2-\frac{1}{42}}}{1,414}$$

$$\frac{\sqrt{\frac{83}{42}}}{1,414}$$

$$\frac{1,406}{1,414}$$

$$0,994$$

L'excentricité est égale à $$0,994$$