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解答 - 完全平方を用いた二次方程式の解法

厳密な形:

x_{1} = - \frac{27}{23} + \frac{\sqrt{315}}{23}

x_1=-\frac{27}{23}+\frac{\sqrt{315}}{23}

x_{2} = - \frac{27}{23} - \frac{\sqrt{315}}{23}

x_2=-\frac{27}{23}-\frac{\sqrt{315}}{23}

小数形式:

x_{1} = - 0.402

x_1=-0.402

x_{2} = - 1.946

x_2=-1.946

手順を見る

手順を追って説明

1. 係数を識別します

二次方程式の標準形、 $a x^{2} + b x + c = 0$ 、を用いて係数を求めます：

$23 x^{2} + 54 x + 18 = 0$

$a = 23$
$b = 54$
$c = 18$ 上記は数学的な表現なので翻訳する必要はありません。ただし、下記のように日本語の利用者に説明することは可能です：これは標準的な二次方程式です。

ここで、aは単純化されたa係数です。
bは単純化されたb係数です。
そして、cは単純化されたc係数です。

2. aの係数を1に等しいものにします

$a = 23$ であるため、方程式の両側の全ての係数と定数を $23$ で割ります：

$23 x^{2} + 54 x + 18 = 0$

$\frac{23}{23} x^{2} + 54 \frac{x}{23} + \frac{18}{23} = \frac{0}{23}$

数式を単純化します

$x^{2} + \frac{54}{23} x + \frac{18}{23} = 0$

ここで係数は次の通りです：
$a = 1$
$b = \frac{54}{23}$
$c = \frac{18}{23}$

3. 右側の等式に定数を移動し、組み合わせます

等式の両側に $\frac{18}{23}$ を追加します：

$x^{2} + \frac{54}{23} x + \frac{18}{23} = 0$

$x^{2} + \frac{54}{23} x + \frac{18}{23} - \frac{18}{23} = 0 - \frac{18}{23}$

$x^{2} + \frac{54}{23} x = - \frac{18}{23}$

4. 四角を完成させます

方程式の左側を完全平方三項式にするため、新たな定数 ${(\frac{b}{2})}^{2}$ を等式に追加します：

$b = \frac{54}{23}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{\frac{54}{23}}{2})}^{2}$

指数の分数規則 ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ を使用します

${(\frac{\frac{54}{23}}{2})}^{2} = \frac{{(\frac{54}{23})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(\frac{54}{23})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{2916}{529}}{4}$

$\frac{\frac{2916}{529}}{4} = \frac{2916}{529} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{2916}{529} \cdot \frac{1}{4} = \frac{729}{529}$

等式の両側に $\frac{729}{529}$ を追加します：

5追加のsteps

$x^{2} + \frac{54}{23} x = - \frac{18}{23}$

$x^{2} + \frac{54}{23} x + \frac{729}{529} = - \frac{18}{23} + \frac{729}{529}$

最小公倍数を見つける:

$x^{2} + \frac{54}{23} x + \frac{729}{529} = \frac{(- 18 \cdot 23)}{(23 \cdot 23)} + \frac{729}{529}$

分母を掛ける:

$x^{2} + \frac{54}{23} x + \frac{729}{529} = \frac{(- 18 \cdot 23)}{529} + \frac{729}{529}$

分子を掛ける:

$x^{2} + \frac{54}{23} x + \frac{729}{529} = \frac{- 414}{529} + \frac{729}{529}$

分数を結合する:

$x^{2} + \frac{54}{23} x + \frac{729}{529} = \frac{(- 414 + 729)}{529}$

分子を合わせる:

$x^{2} + \frac{54}{23} x + \frac{729}{529} = \frac{315}{529}$

完全平方三項式が完成しました、 $b$ の係数の半分、 $\frac{b}{2}$ を加えて、完全平方形に書き換えます：
$b = \frac{54}{23}$

2追加のsteps

$\frac{b}{2} = \frac{\frac{54}{23}}{2}$

除算を簡素化する:

$\frac{b}{2} = \frac{54}{(23 \cdot 2)}$

項をキャンセルする:

$\frac{b}{2} = \frac{27}{23}$

$x^{2} + \frac{54}{23} x + \frac{729}{529} = \frac{315}{529}$

${(x + \frac{27}{23})}^{2} = \frac{315}{529}$

5. $x$ を解く

等式の両側の平方根を計算します：重要：定数の平方根を取るときは、正と負の2つの解が得られます

${(x + \frac{27}{23})}^{2} = \frac{315}{529}$

$\sqrt{{(x + \frac{27}{23})}^{2}} = \sqrt{\frac{315}{529}}$

方程式の左側の平方と平方根を打ち消します:

$x + \frac{27}{23} = \pm \sqrt{\frac{315}{529}}$

両方の側から $\frac{27}{23}$ を引く

$x + \frac{27}{23} - \frac{27}{23} = - \frac{27}{23} \pm \sqrt{\frac{315}{529}}$

左側を簡単にする:

$x = - \frac{27}{23} \pm \sqrt{\frac{315}{529}}$

$x = - \frac{27}{23} \pm \frac{\sqrt{315}}{\sqrt{529}}$

$x = - \frac{27}{23} \pm \frac{\sqrt{315}}{23}$

$x_{1} = - \frac{27}{23} + \frac{\sqrt{315}}{23}$
$x_{2} = - \frac{27}{23} - \frac{\sqrt{315}}{23}$

私たちはどうでしたか？

フィードバックをいただければ幸いです

なぜこれを学ぶのか

最も基本的な機能である二次方程式は、円、楕円、放物線などの形を定義します。これらの形は、サッカー選手が蹴ったボールや大砲から発射された物体の軌跡を予測するために使われます。
物体の宇宙空間での運動については、太陽系における惑星の公転を考えるのが最も良いでしょう。二次方程式は、惑星の軌道が円ではなく楕円であることを確立しました。物体が停止した後でも、二次方程式を用いてその軌道と速度を予測することが可能です。この情報を用いて、自動車業界は衝突を防ぐためのブレーキを設計します。多くの業界では、二次方程式を用いて製品の寿命や安全性を予測し、それによって製品を改良しています。

用語とトピック

二次方程式を完全平方で解く