解答 - 完全平方を用いた二次方程式の解法

$$a=4$$であるため、方程式の両側の全ての係数と定数を$$4$$で割ります：

$$4x^2-4x-5=0$$

$$\frac{4}{4}{x}^2-4\frac{x}{4}-\frac{5}{4}=\frac{0}{4}$$

$$x^2-1x-\frac{5}{4}=0$$

ここで係数は次の通りです：
$$a=1$$
$$b=-1$$
$$c=-\frac{5}{4}$$

等式の両側に$$\frac{5}{4}$$を追加します：

$$x^2-1x-\frac{5}{4}=0$$

$$x^2-1x-\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=0+\frac{5}{4}$$

$$x^2-1x=\frac{5}{4}$$

方程式の左側を完全平方三項式にするため、新たな定数$${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$を等式に追加します：

$$b=-1$$

等式の両側に$$\frac{1}{4}$$を追加します：

完全平方三項式が完成しました、$$b$$の係数の半分、$$\frac{b}{2}$$を加えて、完全平方形に書き換えます：
$$b=-1$$

$$x^2-1x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$$

$${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{2}$$

等式の両側の平方根を計算します： 重要：定数の平方根を取るときは、正と負の2つの解が得られます

$${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{2}$$

$$\sqrt{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

$$x-\frac{1}{2}=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$

$$x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$

$$x=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$

$$x=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

$$x=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}·\sqrt{2}}{\sqrt{2}·\sqrt{2}}$$

$$x=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$$

$$x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}$$