解答 - 完全平方を用いた二次方程式の解法

二次方程式の標準形、$$a{x}^2+bx+c=0$$、を用いて係数を求めます：

$$5x^2-54=0$$

$$a=5$$
$$b=0$$
$$c=-54$$ 上記は数学的な表現なので翻訳する必要はありません。ただし、下記のように日本語の利用者に説明することは可能です： これは標準的な二次方程式です。

ここで、aは単純化されたa係数です。
bは単純化されたb係数です。
そして、cは単純化されたc係数です。

$$a=5$$であるため、方程式の両側の全ての係数と定数を$$5$$で割ります：

$$5x^2+0x-54=0$$

$$\frac{5}{5}{x}^2+0\frac{x}{5}-\frac{54}{5}=\frac{0}{5}$$

$$x^2+0x-\frac{54}{5}=0$$

ここで係数は次の通りです：
$$a=1$$
$$b=0$$
$$c=-\frac{54}{5}$$

等式の両側に$$\frac{54}{5}$$を追加します：

$$x^2+0x-\frac{54}{5}=0$$

$$x^2+0x-\frac{54}{5}+\frac{54}{5}=0+\frac{54}{5}$$

$$x^2+0x=\frac{54}{5}$$

方程式の左側を完全平方三項式にするため、新たな定数$${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$を等式に追加します：

$$b=0$$

等式の両側に$$0$$を追加します：

$$x^2+0x=\frac{54}{5}$$

$$x^2+0x+0=\frac{54}{5}+0$$

完全平方三項式が完成しました、$$b$$の係数の半分、$$\frac{b}{2}$$を加えて、完全平方形に書き換えます：
$$b=0$$

$$x^2+0x+0=\frac{54}{5}$$

$${\left(x+0\right)}^2=\frac{54}{5}$$

等式の両側の平方根を計算します： 重要：定数の平方根を取るときは、正と負の2つの解が得られます

$${\left(x+0\right)}^2=\frac{54}{5}$$

$$\sqrt{{\left(x+0\right)}^2}=\sqrt{\frac{54}{5}}$$

$$x+0=\pm \sqrt{\frac{54}{5}}$$

$$x+0+0=\pm \sqrt{\frac{54}{5}}$$

$$x=\pm \sqrt{\frac{54}{5}}$$

$$x=0\pm \frac{\sqrt{54}}{\sqrt{5}}$$

$$x=0\pm \frac{\sqrt{54}·\sqrt{5}}{\sqrt{5}·\sqrt{5}}$$

$$x=0\pm \frac{\sqrt{270}}{5}$$

$$x=0\pm \frac{\sqrt{2·3·3·3·5}}{5}$$

$$x=0\pm \frac{\sqrt{2·3^2·3·5}}{5}$$

$$x=0\pm \frac{3·\sqrt{2·3·5}}{5}$$

$$x=0\pm \frac{3·\sqrt{6·5}}{5}$$

$$x=0\pm \frac{3·\sqrt{30}}{5}$$

$$x_1=0+\frac{3·\sqrt{30}}{5}$$
$$x_2=0-\frac{3·\sqrt{30}}{5}$$