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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.7857142857142858

r=1.7857142857142858

この級数の和は次のようになります:

s = 39

s=39

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{n - 1}

a_n=14*1.7857142857142858^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

14, 25, 44.642857142857146, 79.71938775510205, 142.35604956268224, 254.2072313619326, 453.9414845748796, 810.6097938837137, 1447.5174890780602, 2584.8526590679653

14,25,44.642857142857146,79.71938775510205,142.35604956268224,254.2072313619326,453.9414845748796,810.6097938837137,1447.5174890780602,2584.8526590679653

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{25}{14} = 1.7857142857142858$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.7857142857142858$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 14$ 、共通比数: $r = 1.7857142857142858$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 14 * ((1 - {1.7857142857142858}^{2}) / (1 - 1.7857142857142858))$

$s_{2} = 14 * ((1 - 3.188775510204082) / (1 - 1.7857142857142858))$

$s_{2} = 14 * (- 2.188775510204082 / (1 - 1.7857142857142858))$

$s_{2} = 14 * (- 2.188775510204082 / - 0.7857142857142858)$

$s_{2} = 14 \cdot 2.7857142857142856$

$s_{2} = 39$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 14$ と共通比数: $r = 1.7857142857142858$ を数式に代入します。

$a_{n} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 14$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{2 - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{1} = 14 \cdot 1.7857142857142858 = 25$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{3 - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{2} = 14 \cdot 3.188775510204082 = 44.642857142857146$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{4 - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{3} = 14 \cdot 5.69424198250729 = 79.71938775510205$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{5 - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{4} = 14 \cdot 10.168289254477303 = 142.35604956268224$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{6 - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{5} = 14 \cdot 18.157659382995185 = 254.2072313619326$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{7 - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{6} = 14 \cdot 32.424391755348545 = 453.9414845748796$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{8 - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{7} = 14 \cdot 57.90069956312241 = 810.6097938837137$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{9 - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{8} = 14 \cdot 103.39410636271859 = 1447.5174890780602$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{10 - 1} = 14 \cdot {1.7857142857142858}^{9} = 14 \cdot 184.63233279056894 = 2584.8526590679653$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列