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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.2857142857142858

r=1.2857142857142858

この級数の和は次のようになります:

s = 320

s=320

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{n - 1}

a_n=140*1.2857142857142858^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

140, 180, 231.42857142857147, 297.55102040816337, 382.5655976676386, 491.8700541441068, 632.4043553281374, 813.0913139933195, 1045.403117991411, 1344.0897231318143

140,180,231.42857142857147,297.55102040816337,382.5655976676386,491.8700541441068,632.4043553281374,813.0913139933195,1045.403117991411,1344.0897231318143

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{180}{140} = 1.2857142857142858$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.2857142857142858$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 140$ 、共通比数: $r = 1.2857142857142858$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 140 * ((1 - {1.2857142857142858}^{2}) / (1 - 1.2857142857142858))$

$s_{2} = 140 * ((1 - 1.6530612244897962) / (1 - 1.2857142857142858))$

$s_{2} = 140 * (- 0.6530612244897962 / (1 - 1.2857142857142858))$

$s_{2} = 140 * (- 0.6530612244897962 / - 0.2857142857142858)$

$s_{2} = 140 \cdot 2.285714285714286$

$s_{2} = 320.00000000000006$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 140$ と共通比数: $r = 1.2857142857142858$ を数式に代入します。

$a_{n} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 140$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{2 - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{1} = 140 \cdot 1.2857142857142858 = 180$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{3 - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{2} = 140 \cdot 1.6530612244897962 = 231.42857142857147$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{4 - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{3} = 140 \cdot 2.125364431486881 = 297.55102040816337$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{5 - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{4} = 140 \cdot 2.732611411911704 = 382.5655976676386$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{6 - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{5} = 140 \cdot 3.513357529600763 = 491.8700541441068$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{7 - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{6} = 140 \cdot 4.517173966629553 = 632.4043553281374$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{8 - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{7} = 140 \cdot 5.8077950999522825 = 813.0913139933195$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{9 - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{8} = 140 \cdot 7.467165128510078 = 1045.403117991411$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{10 - 1} = 140 \cdot {1.2857142857142858}^{9} = 140 \cdot 9.600640879512959 = 1344.0897231318143$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列