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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 3.5357142857142856

r=3.5357142857142856

この級数の和は次のようになります:

s = 254

s=254

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{n - 1}

a_n=56*3.5357142857142856^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

56, 198, 700.0714285714286, 2475.2525510204077, 8751.785805393585, 30943.8140976416, 109408.48555951852, 386837.14537115477, 1367745.6211337256, 4835957.731865672

56,198,700.0714285714286,2475.2525510204077,8751.785805393585,30943.8140976416,109408.48555951852,386837.14537115477,1367745.6211337256,4835957.731865672

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{198}{56} = 3.5357142857142856$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 3.5357142857142856$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 56$ 、共通比数: $r = 3.5357142857142856$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 56 * ((1 - {3.5357142857142856}^{2}) / (1 - 3.5357142857142856))$

$s_{2} = 56 * ((1 - 12.501275510204081) / (1 - 3.5357142857142856))$

$s_{2} = 56 * (- 11.501275510204081 / (1 - 3.5357142857142856))$

$s_{2} = 56 * (- 11.501275510204081 / - 2.5357142857142856)$

$s_{2} = 56 \cdot 4.535714285714286$

$s_{2} = 254$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 56$ と共通比数: $r = 3.5357142857142856$ を数式に代入します。

$a_{n} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 56$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{2 - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{1} = 56 \cdot 3.5357142857142856 = 198$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{3 - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{2} = 56 \cdot 12.501275510204081 = 700.0714285714286$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{4 - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{3} = 56 \cdot 44.20093841107871 = 2475.2525510204077$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{5 - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{4} = 56 \cdot 156.2818893820283 = 8751.785805393585$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{6 - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{5} = 56 \cdot 552.5681088864571 = 30943.8140976416$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{7 - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{6} = 56 \cdot 1953.7229564199736 = 109408.48555951852$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{8 - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{7} = 56 \cdot 6907.806167342049 = 386837.14537115477$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{9 - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{8} = 56 \cdot 24424.02894881653 = 1367745.6211337256$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{10 - 1} = 56 \cdot {3.5357142857142856}^{9} = 56 \cdot 86356.38806902987 = 4835957.731865672$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列