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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.10101010101010101

r=0.10101010101010101

この級数の和は次のようになります:

s = 109

s=109

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{n - 1}

a_n=99*0.10101010101010101^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

99, 10, 1.01010101010101, 0.1020304050607081, 0.010306101521283645, 0.0010410203556852167, 0.00010515357128133501, 1.0621572856700505 E - 05, 1.0728861471414653 E - 06, 1.083723380950975 E - 07

99,10,1.01010101010101,0.1020304050607081,0.010306101521283645,0.0010410203556852167,0.00010515357128133501,1.0621572856700505E-05,1.0728861471414653E-06,1.083723380950975E-07

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{10}{99} = 0.10101010101010101$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.10101010101010101$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 99$ 、共通比数: $r = 0.10101010101010101$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 99 * ((1 - {0.10101010101010101}^{2}) / (1 - 0.10101010101010101))$

$s_{2} = 99 * ((1 - 0.010203040506070809) / (1 - 0.10101010101010101))$

$s_{2} = 99 * (0.9897969594939292 / (1 - 0.10101010101010101))$

$s_{2} = 99 * (0.9897969594939292 / 0.898989898989899)$

$s_{2} = 99 \cdot 1.101010101010101$

$s_{2} = 109$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 99$ と共通比数: $r = 0.10101010101010101$ を数式に代入します。

$a_{n} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 99$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{2 - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{1} = 99 \cdot 0.10101010101010101 = 10$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{3 - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{2} = 99 \cdot 0.010203040506070809 = 1.01010101010101$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{4 - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{3} = 99 \cdot 0.0010306101521283645 = 0.1020304050607081$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{5 - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{4} = 99 \cdot 0.00010410203556852167 = 0.010306101521283645$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{6 - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{5} = 99 \cdot 1.0515357128133501 E - 05 = 0.0010410203556852167$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{7 - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{6} = 99 \cdot 1.0621572856700506 E - 06 = 0.00010515357128133501$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{8 - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{7} = 99 \cdot 1.0728861471414652 E - 07 = 1.0621572856700505 E - 05$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{9 - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{8} = 99 \cdot 1.083723380950975 E - 08 = 1.0728861471414653 E - 06$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{10 - 1} = 99 \cdot {0.10101010101010101}^{9} = 99 \cdot 1.0946700817686615 E - 09 = 1.083723380950975 E - 07$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列