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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.7777777777777777

r=1.7777777777777777

この級数の和は次のようになります:

s = 500

s=500

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{n - 1}

a_n=180*1.7777777777777777^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

180, 320, 568.8888888888889, 1011.3580246913577, 1797.969821673525, 3196.3907940862664, 5682.472522820029, 10102.173373902273, 17959.419331381818, 31927.85658912323

180,320,568.8888888888889,1011.3580246913577,1797.969821673525,3196.3907940862664,5682.472522820029,10102.173373902273,17959.419331381818,31927.85658912323

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{320}{180} = 1.7777777777777777$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.7777777777777777$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 180$ 、共通比数: $r = 1.7777777777777777$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 180 * ((1 - {1.7777777777777777}^{2}) / (1 - 1.7777777777777777))$

$s_{2} = 180 * ((1 - 3.1604938271604937) / (1 - 1.7777777777777777))$

$s_{2} = 180 * (- 2.1604938271604937 / (1 - 1.7777777777777777))$

$s_{2} = 180 * (- 2.1604938271604937 / - 0.7777777777777777)$

$s_{2} = 180 \cdot 2.777777777777778$

$s_{2} = 500.00000000000006$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 180$ と共通比数: $r = 1.7777777777777777$ を数式に代入します。

$a_{n} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 180$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{2 - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{1} = 180 \cdot 1.7777777777777777 = 320$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{3 - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{2} = 180 \cdot 3.1604938271604937 = 568.8888888888889$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{4 - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{3} = 180 \cdot 5.6186556927297655 = 1011.3580246913577$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{5 - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{4} = 180 \cdot 9.988721231519584 = 1797.969821673525$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{6 - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{5} = 180 \cdot 17.75772663381259 = 3196.3907940862664$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{7 - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{6} = 180 \cdot 31.569291793444606 = 5682.472522820029$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{8 - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{7} = 180 \cdot 56.12318541056818 = 10102.173373902273$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{9 - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{8} = 180 \cdot 99.7745518410101 = 17959.419331381818$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{10 - 1} = 180 \cdot {1.7777777777777777}^{9} = 180 \cdot 177.3769810506846 = 31927.85658912323$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列