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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.4814814814814814

r=2.4814814814814814

この級数の和は次のようになります:

s = 94

s=94

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{n - 1}

a_n=27*2.4814814814814814^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

27, 67, 166.25925925925927, 412.56927297668034, 1023.7830107199105, 2540.498582156815, 6304.200185352096, 15643.756015503348, 38819.69085328608, 96330.34396926546

27,67,166.25925925925927,412.56927297668034,1023.7830107199105,2540.498582156815,6304.200185352096,15643.756015503348,38819.69085328608,96330.34396926546

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{67}{27} = 2.4814814814814814$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.4814814814814814$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 27$ 、共通比数: $r = 2.4814814814814814$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 27 * ((1 - {2.4814814814814814}^{2}) / (1 - 2.4814814814814814))$

$s_{2} = 27 * ((1 - 6.157750342935528) / (1 - 2.4814814814814814))$

$s_{2} = 27 * (- 5.157750342935528 / (1 - 2.4814814814814814))$

$s_{2} = 27 * (- 5.157750342935528 / - 1.4814814814814814)$

$s_{2} = 27 \cdot 3.4814814814814814$

$s_{2} = 94$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 27$ と共通比数: $r = 2.4814814814814814$ を数式に代入します。

$a_{n} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 27$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{2 - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{1} = 27 \cdot 2.4814814814814814 = 67$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{3 - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{2} = 27 \cdot 6.157750342935528 = 166.25925925925927$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{4 - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{3} = 27 \cdot 15.280343443580753 = 412.56927297668034$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{5 - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{4} = 27 \cdot 37.91788928592261 = 1023.7830107199105$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{6 - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{5} = 27 \cdot 94.09254007988203 = 2540.498582156815$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{7 - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{6} = 27 \cdot 233.48889575378132 = 6304.200185352096$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{8 - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{7} = 27 \cdot 579.3983709445685 = 15643.756015503348$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{9 - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{8} = 27 \cdot 1437.7663278994846 = 38819.69085328608$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{10 - 1} = 27 \cdot {2.4814814814814814}^{9} = 27 \cdot 3567.7905173802023 = 96330.34396926546$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列