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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5111111111111111

r=0.5111111111111111

この級数の和は次のようになります:

s = 68

s=68

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{n - 1}

a_n=45*0.5111111111111111^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

45, 23, 11.755555555555553, 6.008395061728393, 3.070957475994512, 1.5696004877305283, 0.8022402492844922, 0.4100339051898515, 0.209572884874813, 0.10711503004712662

45,23,11.755555555555553,6.008395061728393,3.070957475994512,1.5696004877305283,0.8022402492844922,0.4100339051898515,0.209572884874813,0.10711503004712662

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{23}{45} = 0.5111111111111111$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5111111111111111$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 45$ 、共通比数: $r = 0.5111111111111111$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 45 * ((1 - {0.5111111111111111}^{2}) / (1 - 0.5111111111111111))$

$s_{2} = 45 * ((1 - 0.2612345679012345) / (1 - 0.5111111111111111))$

$s_{2} = 45 * (0.7387654320987656 / (1 - 0.5111111111111111))$

$s_{2} = 45 * (0.7387654320987656 / 0.48888888888888893)$

$s_{2} = 45 \cdot 1.5111111111111113$

$s_{2} = 68.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 45$ と共通比数: $r = 0.5111111111111111$ を数式に代入します。

$a_{n} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 45$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{2 - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{1} = 45 \cdot 0.5111111111111111 = 23$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{3 - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{2} = 45 \cdot 0.2612345679012345 = 11.755555555555553$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{4 - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{3} = 45 \cdot 0.13351989026063096 = 6.008395061728393$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{5 - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{4} = 45 \cdot 0.06824349946654472 = 3.070957475994512$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{6 - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{5} = 45 \cdot 0.03488001083845618 = 1.5696004877305283$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{7 - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{6} = 45 \cdot 0.01782756109521094 = 0.8022402492844922$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{8 - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{7} = 45 \cdot 0.009111864559774478 = 0.4100339051898515$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{9 - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{8} = 45 \cdot 0.004657175219440288 = 0.209572884874813$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{10 - 1} = 45 \cdot {0.5111111111111111}^{9} = 45 \cdot 0.002380334001047258 = 0.10711503004712662$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列