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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.4927536231884058

r=0.4927536231884058

この級数の和は次のようになります:

s = 103

s=103

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{n - 1}

a_n=69*0.4927536231884058^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

69, 34, 16.753623188405797, 8.255408527620249, 4.06788246288534, 2.0044638222913274, 0.9877068109841323, 0.4866961097602971, 0.23982127147608845, 0.11817280043749286

69,34,16.753623188405797,8.255408527620249,4.06788246288534,2.0044638222913274,0.9877068109841323,0.4866961097602971,0.23982127147608845,0.11817280043749286

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{34}{69} = 0.4927536231884058$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.4927536231884058$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 69$ 、共通比数: $r = 0.4927536231884058$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 69 * ((1 - {0.4927536231884058}^{2}) / (1 - 0.4927536231884058))$

$s_{2} = 69 * ((1 - 0.24280613316530142) / (1 - 0.4927536231884058))$

$s_{2} = 69 * (0.7571938668346986 / (1 - 0.4927536231884058))$

$s_{2} = 69 * (0.7571938668346986 / 0.5072463768115942)$

$s_{2} = 69 \cdot 1.4927536231884058$

$s_{2} = 103$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 69$ と共通比数: $r = 0.4927536231884058$ を数式に代入します。

$a_{n} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 69$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{2 - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{1} = 69 \cdot 0.4927536231884058 = 34$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{3 - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{2} = 69 \cdot 0.24280613316530142 = 16.753623188405797$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{4 - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{3} = 69 \cdot 0.11964360184956882 = 8.255408527620249$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{5 - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{4} = 69 \cdot 0.05895481830268609 = 4.06788246288534$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{6 - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{5} = 69 \cdot 0.029050200323062714 = 2.0044638222913274$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{7 - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{6} = 69 \cdot 0.014314591463538149 = 0.9877068109841323$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{8 - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{7} = 69 \cdot 0.007053566808120248 = 0.4866961097602971$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{9 - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{8} = 69 \cdot 0.003475670601102731 = 0.23982127147608845$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{10 - 1} = 69 \cdot {0.4927536231884058}^{9} = 69 \cdot 0.001712649281702795 = 0.11817280043749286$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列