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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5217391304347826

r=0.5217391304347826

この級数の和は次のようになります:

s = 105

s=105

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{n - 1}

a_n=69*0.5217391304347826^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

69, 36, 18.782608695652172, 9.799621928166351, 5.11284622339114, 2.667571942638855, 1.39177666572462, 0.7261443473345843, 0.37885792034847876, 0.19766500192094547

69,36,18.782608695652172,9.799621928166351,5.11284622339114,2.667571942638855,1.39177666572462,0.7261443473345843,0.37885792034847876,0.19766500192094547

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{36}{69} = 0.5217391304347826$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5217391304347826$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 69$ 、共通比数: $r = 0.5217391304347826$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 69 * ((1 - {0.5217391304347826}^{2}) / (1 - 0.5217391304347826))$

$s_{2} = 69 * ((1 - 0.2722117202268431) / (1 - 0.5217391304347826))$

$s_{2} = 69 * (0.727788279773157 / (1 - 0.5217391304347826))$

$s_{2} = 69 * (0.727788279773157 / 0.4782608695652174)$

$s_{2} = 69 \cdot 1.5217391304347827$

$s_{2} = 105$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 69$ と共通比数: $r = 0.5217391304347826$ を数式に代入します。

$a_{n} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 69$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{2 - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{1} = 69 \cdot 0.5217391304347826 = 36$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{3 - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{2} = 69 \cdot 0.2722117202268431 = 18.782608695652172$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{4 - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{3} = 69 \cdot 0.14202350620530943 = 9.799621928166351$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{5 - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{4} = 69 \cdot 0.0740992206288571 = 5.11284622339114$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{6 - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{5} = 69 \cdot 0.038660462936795 = 2.667571942638855$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{7 - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{6} = 69 \cdot 0.020170676314849565 = 1.39177666572462$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{8 - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{7} = 69 \cdot 0.010523831120791078 = 0.7261443473345843$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{9 - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{8} = 69 \cdot 0.00549069449780404 = 0.37885792034847876$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{10 - 1} = 69 \cdot {0.5217391304347826}^{9} = 69 \cdot 0.0028647101727673255 = 0.19766500192094547$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列