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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5777777777777777

r=0.5777777777777777

この級数の和は次のようになります:

s = 142

s=142

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{n - 1}

a_n=90*0.5777777777777777^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

90, 51.99999999999999, 30.04444444444444, 17.35901234567901, 10.029651577503426, 5.794909800335312, 3.3481701068604024, 1.9344982839637879, 1.1177101196235217, 0.6457880691158124

90,51.99999999999999,30.04444444444444,17.35901234567901,10.029651577503426,5.794909800335312,3.3481701068604024,1.9344982839637879,1.1177101196235217,0.6457880691158124

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{52}{90} = 0.5777777777777777$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5777777777777777$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 90$ 、共通比数: $r = 0.5777777777777777$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 90 * ((1 - {0.5777777777777777}^{2}) / (1 - 0.5777777777777777))$

$s_{2} = 90 * ((1 - 0.3338271604938271) / (1 - 0.5777777777777777))$

$s_{2} = 90 * (0.6661728395061729 / (1 - 0.5777777777777777))$

$s_{2} = 90 * (0.6661728395061729 / 0.4222222222222223)$

$s_{2} = 90 \cdot 1.5777777777777777$

$s_{2} = 142$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 90$ と共通比数: $r = 0.5777777777777777$ を数式に代入します。

$a_{n} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 90$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{2 - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{1} = 90 \cdot 0.5777777777777777 = 51.99999999999999$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{3 - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{2} = 90 \cdot 0.3338271604938271 = 30.04444444444444$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{4 - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{3} = 90 \cdot 0.19287791495198897 = 17.35901234567901$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{5 - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{4} = 90 \cdot 0.1114405730833714 = 10.029651577503426$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{6 - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{5} = 90 \cdot 0.06438788667039236 = 5.794909800335312$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{7 - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{6} = 90 \cdot 0.03720189007622669 = 3.3481701068604024$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{8 - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{7} = 90 \cdot 0.02149442537737542 = 1.9344982839637879$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{9 - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{8} = 90 \cdot 0.01241900132915024 = 1.1177101196235217$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{10 - 1} = 90 \cdot {0.5777777777777777}^{9} = 90 \cdot 0.007175422990175694 = 0.6457880691158124$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列