सोल्यूशन - चौरसांकी समीकरणे पूर्ण वर्गाच्या माध्यमातून सोडवणे

कारण $$a=40$$, समीकरणाच्या दोन्ही बाजूनील सर्व गुणांक आणि स्थिरांक $$40$$ने विभाजा:

$$40x^2+180x+189=0$$

$$\frac{40}{40}{x}^2+180\frac{x}{40}+\frac{189}{40}=\frac{0}{40}$$

$$x^2+\frac{9}{2}x+\frac{189}{40}=0$$

गुणकांमध्ये आहेत:
$$a=1$$
$$b=\frac{9}{2}$$
$$c=\frac{189}{40}$$

समीकरणात $$\frac{189}{40}$$ येथेच वाढवा:

$$x^2+\frac{9}{2}x+\frac{189}{40}=0$$

$$x^2+\frac{9}{2}x+\frac{189}{40}-\frac{189}{40}=0-\frac{189}{40}$$

$$x^2+\frac{9}{2}x=-\frac{189}{40}$$

समीकरणाच्या उजव्या बाजूला एक पूर्ण वर्गाची त्रिपदी बनवण्यासाठी, समीकरणात $${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ पर्यायी स्थिरांक वाढवा:

$$b=\frac{9}{2}$$

समीकरणात $$\frac{81}{16}$$ येथेच वाढवा:

आता आमच्याकडे पूर्ण वर्गाची त्रिपदी आहे, $$b$$ गुणांकाच्या अर्धाचे $$\frac{b}{2}$$ वाढवून त्याची विशिष्ट वर्ग रूपरेषा लिहू शकतो:
^$$b=\frac{9}{2}$$

$$x^2+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{27}{80}$$

$${\left(x+\frac{9}{4}\right)}^2=\frac{27}{80}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमध्ये वर्गमूळ घ्या: महत्त्वाचे: स्थिरांकाचा वर्गमूळ काढताना आपण दोन उत्तर मिळवतो: धनात्मक आणि ऋणात्मक

$${\left(x+\frac{9}{4}\right)}^2=\frac{27}{80}$$

$$\sqrt{{\left(x+\frac{9}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{27}{80}}$$

$$x+\frac{9}{4}=\pm \sqrt{\frac{27}{80}}$$

$$x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=-\frac{9}{4}\pm \sqrt{\frac{27}{80}}$$

$$x=-\frac{9}{4}\pm \sqrt{\frac{27}{80}}$$

$$x=-\frac{9}{4}\pm \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{80}}$$

$$x=-\frac{9}{4}\pm \frac{\sqrt{27}·\sqrt{80}}{\sqrt{80}·\sqrt{80}}$$

$$x=-\frac{9}{4}\pm \frac{\sqrt{2160}}{80}$$

$$x=-\frac{9}{4}\pm \frac{\sqrt{2·2·2·2·3·3·3·5}}{80}$$

$$x=-\frac{9}{4}\pm \frac{\sqrt{2^2·2^2·3^2·3·5}}{80}$$

$$x=-\frac{9}{4}\pm \frac{2·2·3·\sqrt{3·5}}{80}$$

$$x=-\frac{9}{4}\pm \frac{4·3·\sqrt{3·5}}{80}$$

$$x=-\frac{9}{4}\pm \frac{12·\sqrt{3·5}}{80}$$

$$x=-\frac{9}{4}\pm \frac{12·\sqrt{15}}{80}$$

$$x=-\frac{9}{4}\pm \frac{3·\sqrt{15}}{20}$$

$$x_1=-\frac{9}{4}+\frac{3·\sqrt{15}}{20}$$
$$x_2=-\frac{9}{4}-\frac{3·\sqrt{15}}{20}$$