Kalkulator Tygrysiej Algebry

Równania liniowe
Równanie liniowe to równanie reprezentujące prostą linię. Zazwyczaj ma stałe i zmienne, które nie mogą zawierać wykładników ani pierwiastków, i zwykle są zapisane w jednym z następujących sposobów:

Forma punkt-nachylenie
$$y-y_1=m\left(x-x_1\right)$$
Na przykład: $$y-9=2\left(x-5\right)$$

Forma nachylenie-przecięcie
$$y=mx+b$$
Na przykład: $$y=2x-1$$

Forma standardowa
$$ax+by+c=0$$
Na przykład: $$-2x+y+1=0$$
Ważne: W tej formie, $$a$$ i $$b$$ nie mogą być oba równe zero ($$a^2+b^2\ne 0$$).

Choć te równania mogą wyglądać inaczej, wszystkie rzeczywiście reprezentują tę samą linię. Jeśli masz dostęp do kalkulatora graficznego, spróbuj narysować każde równanie i porównać wyniki. Wykresy będą takie same!

Układy równań liniowych
Czasami mamy do czynienia z dwoma lub więcej równaniami, które mogą być prawdziwe dla tych samych zmiennych.
Na przykład:
$$2x-4y-10=0$$
$$5x+3y=12$$
Kiedy $$x=3$$ i $$y=-1$$, oba równania są prawdziwe.

Nazywamy to układami równań liniowych i możemy znaleźć ich zmienną lub zmienne, używając jednej z dwóch metod: eliminacji i podstawienia.

Rozwiązywanie przez eliminację
Główne kroki w rozwiązywaniu układu równań liniowych przez eliminację:

1. Przepisz równania, tak aby zmienne były w tej samej kolejności:
$$2x-4y-10=0$$
$$5x+3y=12$$
zostanie $$2x-4y-10=0$$
$$5x+3y-12=0$$

2. Pomnóż jedno lub oba równania przez niezerowe liczby, które sprawią, że jeden zestaw wyrazów się wyeliminuje, jeśli zostanie do niego dodany lub od niego odebrany:
$$3\left(2x-4y-10=0\right)$$
$$4\left(5x+3y-12=0\right)$$
zostanie
$$6x-12y-30=0$$
$$20x+12y-48=0$$

3. Dodaj lub odejmij równania, aby wyeliminować ich wspólną zmienną:
$(6x-12y-30)$
+ (20x+12y-48)
= 26x-78=0


4. Rozwiąż równanie, aby wyizolować pozostałą zmienną:
$$26x-78=0$$
$$26x=78$$
$$x=3$$

5. Wprowadź tę zmienną do jednego z oryginalnych równań i uprość, aby wyizolować pozostałą zmienną:
$$2\left(3\right)-4y-10=0$$
$$6-4y-10=0$$
$$-4y-4=0$$
$$-4y=4$$
$$y=-1$$

Zmienne, które spełniają oba równania to $$x=3$$ oraz $$y=-1$$ lub $$\left(3,-1\right)$$

6. Powtórz, jeżeli to konieczne, np. gdy jest więcej niż dwa równania liniowe w systemie.

Rozwiązanie przez podstawienie
Główne kroki w rozwiązaniu układu równań liniowych przez podstawienie:

1. Rozwiąż dla $$x$$ lub $$y$$ w jednym z równań, isolując zmienną:
$$2x-4y-10=0$$
$$2x=4y+10$$
$$x=2y+5$$

2. Wprowadź wynikową zmienną do drugiego równania i rozwiąż:
$$5\left(2y+5\right)+3y=12$$
$$10y+25+3y=12$$
$$13y=-13$$
$$y=-1$$

3. Wprowadź wynikową zmienną do jednego z oryginalnych równań i rozwiąż:
$$2x-4\left(-1\right)-10=0$$
$$2x+4-10=0$$
$$2x-6=0$$
$$2x=6$$
$$x=3$$

Zmienne, które spełniają oba równania to $$x=3$$ oraz $$y=-1$$ lub $$\left(3,-1\right)$$

4. Powtórz, jeżeli to konieczne, np. gdy jest więcej niż dwa równania liniowe w systemie.

Możemy mieć trzy możliwe typy rozwiązań dla układów równań liniowych:

Brak rozwiązania : Nie ma zmiennych, które uczyniłyby wszystkie równania systemu prawdziwymi. Na wykresie, linie reprezentujące równania nie stykają się. Jeśli są to równania liniowe, te linie będą biec równolegle.

Jedno rozwiązanie : Jest jeden zestaw zmiennych, które uczynią wszystkie równania systemu prawdziwymi. Na wykresie, linie reprezentujące równania przecinają się raz. Punkt, w którym się przecinają, jest rozwiązaniem systemu.

Nieskończenie wiele rozwiązań : Jest nieskończona liczba zmiennych, które uczynią wszystkie równania systemu prawdziwymi. Jest to wtedy, gdy wszystkie równania systemu są takie same lub są wariacjami tego samego równania i reprezentują zatem tę samą linię.

Inne istotne terminy:

Konsystentne równania : dwa lub więcej równań są zgodne, gdy mają jedno lub nieskończone rozwiązania. Na przykład: $$5x+3y=12$$ i $$2x-4y=10$$ są zgodne, ponieważ mają jedno rozwiązanie $$\left(3,-1\right)$$.

Niekonsystentne równania : dwa lub więcej równań są niespójne, gdy nie mają żadnych wspólnych rozwiązań, co oznacza, że ich linie nie mają żadnych punktów wspólnych. Linie równań niespójnych biegną równolegle do siebie. Na przykład: $$5x+3y=6$$ i $$5x+3y=20$$ są niespójne, ponieważ $$x$$ ma inną wartość w każdym równaniu, co oznacza, że równania nie mają żadnych wspólnych rozwiązań.

Niezależne równania : dwa lub więcej równań są niezależne, gdy reprezentują różne linie.

Zależne równania : dwa lub więcej równań są zależne, gdy reprezentują tę samą linię, co daje każdemu równaniu nieskończenie wiele rozwiązań. Zależne równania pojawiają się, gdy równanie jest napisane w różnych formach. Na przykład: $$5x+3y=12$$ i $$10x+6y-24=0$$ reprezentują tę samą linię i są zatem zależne.