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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução: 15,223x3,777
-15,223<=x<=-3,777
Notação de intervalo: x[15,223,3,777]
x∈[-15,223,-3,777]

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, 2x238x1150, são:

a = -2

b = -38

c = -115

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para ax2+bx+c0, em que a, b e c são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

x=(-b±sqrt(b2-4ac))/(2a)

a=2
b=38
c=115

x=(-1*-38±sqrt(-382-4*-2*-115))/(2*-2)

Simplificar expoentes e raízes quadradas

x=(-1*-38±sqrt(1444-4*-2*-115))/(2*-2)

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x=(-1*-38±sqrt(1444--8*-115))/(2*-2)

x=(-1*-38±sqrt(1444-920))/(2*-2)

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

x=(-1*-38±sqrt(524))/(2*-2)

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x=(-1*-38±sqrt(524))/(-4)

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x=(38±sqrt(524))/(-4)

para obter o resultado:

x=(38±sqrt(524))/(-4)

3. Simplificar a raiz quadrada (524)

Simplificar 524 ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>524</math>:

A fatoração prima de 524 é 22131

Escrever os fatores primos:

524=2·2·131

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

2·2·131=22·131

Utilizar a regra (x2)=x para simplificar ainda mais:

22·131=2·131

4. Resolver a equação para x

x=(38±2*sqrt(131))/(-4)

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: x1=(38+2*sqrt(131))/(-4) e x2=(38-2*sqrt(131))/(-4)

x1=(38+2*sqrt(131))/(-4)

Começamos por calcular a expressão entre parêntesis.

x1=(38+2*sqrt(131))/(-4)

x1=(38+2*11,446)/(-4)

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x1=(38+2*11,446)/(-4)

x1=(38+22,891)/(-4)

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

x1=(38+22,891)/(-4)

x1=(60,891)/(-4)

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x1=60,8914

x1=15,223

x2=(38-2*sqrt(131))/(-4)

Remova os parênteses

x2=(38-2*sqrt(131))/(-4)

x2=(38-2*11,446)/(-4)

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x2=(38-2*11,446)/(-4)

x2=(38-22,891)/(-4)

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

x2=(38-22,891)/(-4)

x2=(15,109)/(-4)

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x2=15,1094

x2=3,777

5. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -15,223, -3,777.

Uma vez que o coeficiente a é negativo (a=-2), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

6. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que 2x238x1150 tem um sinal de desigualdade procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.