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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução: 5,606<x<1,606
-5,606<x<1,606
Notação de intervalo: x(5.606;1.606)
x∈(-5.606;1.606)

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

ax2+bx+c<0

Subtrair 4 de ambos os lados da desigualdade:

x2+4x5<4

Subtrair 4 de ambos os lados:

x2+4x54<44

Simplificar a expressão

x2+4x9<0

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, x2+4x9<0, são:

a = 1

b = 4

c = -9

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para ax2+bx+c<0, em que a, b e c são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

x=(-b±sqrt(b2-4ac))/(2a)

a=1
b=4
c=9

x=(-4±sqrt(42-4*1*-9))/(2*1)

Simplificar expoentes e raízes quadradas

x=(-4±sqrt(16-4*1*-9))/(2*1)

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x=(-4±sqrt(16-4*-9))/(2*1)

x=(-4±sqrt(16--36))/(2*1)

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

x=(-4±sqrt(16+36))/(2*1)

x=(-4±sqrt(52))/(2*1)

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x=(-4±sqrt(52))/(2)

para obter o resultado:

x=(-4±sqrt(52))/2

4. Simplificar a raiz quadrada (52)

Simplificar 52 ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>52</math>:

A fatoração prima de 52 é 2213

Escrever os fatores primos:

52=2·2·13

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

2·2·13=22·13

Utilizar a regra (x2)=x para simplificar ainda mais:

22·13=2·13

5. Resolver a equação para x

x=(-4±2*sqrt(13))/2

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: x1=(-4+2*sqrt(13))/2 e x2=(-4-2*sqrt(13))/2

x1=(-4+2*sqrt(13))/2

Começamos por calcular a expressão entre parêntesis.

x1=(-4+2*sqrt(13))/2

x1=(-4+2*3,606)/2

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x1=(-4+2*3,606)/2

x1=(-4+7,211)/2

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

x1=(-4+7,211)/2

x1=(3,211)/2

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x1=3,2112

x1=1,606

x2=(-4-2*sqrt(13))/2

x2=(-4-2*3,606)/2

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x2=(-4-2*3,606)/2

x2=(-4-7,211)/2

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

x2=(-4-7,211)/2

x2=(-11,211)/2

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

x2=11,2112

x2=5,606

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -5,606, 1,606.

Uma vez que o coeficiente a é positivo (a=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que x2+4x9<0 tem um sinal de desigualdade < procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.