Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$x^2+6x-22<0$$, são:

$$a$$ = 1

$$b$$ = 6

$$c$$ = -22

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(6^2-4*1*-22\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36-4*1*-22\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36-4*-22\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36--88\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36+88\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(124\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(124\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(124\right)\right)/2$$

Simplificar $$124$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$124$$ é $$2^2\cdot 31$$

$$x=\left(-6\pm 2*sqrt\left(31\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-6+2*sqrt\left(31\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-6-2*sqrt\left(31\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-6+2*sqrt\left(31\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-6+2*sqrt\left(31\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-6+2*5,568\right)/2$$

$$x_1=\left(-6+2*5,568\right)/2$$

$$x_1=\left(-6+11,136\right)/2$$

$$x_1=\left(-6+11,136\right)/2$$

$$x_1=\left(5,136\right)/2$$

$$x_1=5,\frac{136}{2}$$

$$x_1=2,568$$

$$x_2=\left(-6-2*sqrt\left(31\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-6-2*5,568\right)/2$$

$$x_2=\left(-6-2*5,568\right)/2$$

$$x_2=\left(-6-11,136\right)/2$$

$$x_2=\left(-6-11,136\right)/2$$

$$x_2=\left(-17,136\right)/2$$

$$x_2=-17,\frac{136}{2}$$

$$x_2=-8,568$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -8,568, 2,568.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+6x-22<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$