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Solução - Sequências aritméticas

A diferença comum é igual a:

11.111

11.111

A soma da sequência é igual a:

172.835

172.835

A fórmula explícita desta sequência é:

a_{n} = 12345 + (n - 1) \cdot 11111

a_n=12345+(n-1)*11111

A fórmula recursiva desta sequência é:

a_{n} = a_{(n - 1)} + 11111

a_n=a_((n-1))+11111

Os enésimos termos:

12345, 23456, 34567, 45678, 56789, 67900, 79011, 90122...

12345,23456,34567,45678,56789,67900,79011,90122...

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Explicação passo a passo

1. Encontrar a diferença comum

Encontrar a diferença comum ao subtrair qualquer termo na sequência do termo que vem depois.

$a_{2} - a_{1} = 23456 - 12345 = 11111$

$a_{3} - a_{2} = 34567 - 23456 = 11111$

$a_{4} - a_{3} = 45678 - 34567 = 11111$

$a_{5} - a_{4} = 56789 - 45678 = 11111$

A diferença da sequência é constante e é igual à diferença entre dois termos consecutivos.
$d = 11111$

2. Encontrar a soma

Calcular a soma da sequência utilizando a fórmula de soma.

$S o m a = (n (a_{1} + a n)) / 2$

$S u m = (n * (a_{1} + a_{n})) / 2$

Ligar os termos.

$S u m = (5 * (a_{1} + a_{n})) / 2$

$S u m = (5 * (12345 + a_{n})) / 2$

$S u m = (5 * (12345 + 56789)) / 2$

Simplificar a expressão.

$S u m = (5 * (12345 + 56789)) / 2$

$S u m = (5 * 69134) / 2$

$S u m = \frac{345670}{2}$

$S u m = 172835$

A soma desta sequência é $172835$ .

Esta série corresponde à seguinte linha reta $y = 11111 x + 12345$

3. Encontrar a forma explícita

A fórmula para expressar sequências aritméticas na sua forma explícita é:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$

Introduz os termos.
$a_{1} = 12345$ (este é o primeiro termo)
$d = 11111$ (esta é a diferença comum)
$a_{n}$ (este é o enésimo termo)
$n$ (esta é a posição do termo)

A forma explícita desta sequência aritmética é:

$a_{n} = 12345 + (n - 1) \cdot 11111$

4. Encontrar a forma recursiva

A fórmula para expressar sequências aritméticas na sua forma recursiva é:
$a_{n} = a_{(1 - n)} + d$

Introduz o termo d.
$d = 11111$ (esta é a diferença comum)

A forma recursiva desta sequência aritmética é:

$a_{n} = a_{(n - 1)} + 11111$

5. Encontrar o enésimo elemento

$a_{1} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 12345 + (1 - 1) \cdot 11111 = 12345$

$a_{2} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 12345 + (2 - 1) \cdot 11111 = 23456$

$a_{3} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 12345 + (3 - 1) \cdot 11111 = 34567$

$a_{4} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 12345 + (4 - 1) \cdot 11111 = 45678$

$a_{5} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 12345 + (5 - 1) \cdot 11111 = 56789$

$a_{6} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 12345 + (6 - 1) \cdot 11111 = 67900$

$a_{7} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 12345 + (7 - 1) \cdot 11111 = 79011$

$a_{8} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 12345 + (8 - 1) \cdot 11111 = 90122$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Quando irá chegar o próximo autocarro? Quantas pessoas cabem num estádio? Quanto dinheiro irei ganhar este ano? Todas estas perguntas podem ser respondidas ao aprender o funcionamento das sequências aritméticas. O decorrer do tempo, os padrões triangulares (pinos de bowling, por exemplo) e aumentos e reduções em quantidade podem todos ser expressos como sequências aritméticas.

Termos e tópicos

Sequência aritmética