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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 3, 1666666666666665

r=3,1666666666666665

A soma desta sequência é:

s = 599

s=599

A forma geral desta série é:

a_{n} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{n - 1}

a_n=144*3,1666666666666665^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

144, 456, 1443, 9999999999998, 4572, 666666666666, 14480, 111111111108, 45853, 685185185175, 145203, 33641975306, 459810, 565329218, 1456066, 7902091902, 4610878, 168995769

144,456,1443,9999999999998,4572,666666666666,14480,111111111108,45853,685185185175,145203,33641975306,459810,565329218,1456066,7902091902,4610878,168995769

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{456}{144} = 3, 1666666666666665$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 3, 1666666666666665$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 144$ , a razão comum: $r = 3, 1666666666666665$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 144 * ((1 - 3, 1666666666666665^{2}) / (1 - 3, 1666666666666665))$

$s_{2} = 144 * ((1 - 10, 027777777777777) / (1 - 3, 1666666666666665))$

$s_{2} = 144 * (- 9, 027777777777777 / (1 - 3, 1666666666666665))$

$s_{2} = 144 * (- 9, 027777777777777 / - 2, 1666666666666665)$

$s_{2} = 144 \cdot 4, 166666666666666$

$s_{2} = 599, 9999999999999$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 144$ e a razão comum: $r = 3, 1666666666666665$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 144$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{2 - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665 = 456$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{3 - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{2} = 144 \cdot 10, 027777777777777 = 1443, 9999999999998$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{4 - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{3} = 144 \cdot 31, 754629629629626 = 4572, 666666666666$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{5 - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{4} = 144 \cdot 100, 55632716049381 = 14480, 111111111108$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{6 - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{5} = 144 \cdot 318, 4283693415637 = 45853, 685185185175$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{7 - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{6} = 144 \cdot 1008, 3565029149518 = 145203, 33641975306$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{8 - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{7} = 144 \cdot 3193, 128925897347 = 459810, 565329218$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{9 - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{8} = 144 \cdot 10111, 574932008265 = 1456066, 7902091902$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{10 - 1} = 144 \cdot 3, 1666666666666665^{9} = 144 \cdot 32019, 987284692837 = 4610878, 168995769$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas