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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 6

r=6

A soma desta sequência é:

s = 21

s=21

A forma geral desta série é:

a_{n} = 3 \cdot 6^{n - 1}

a_n=3*6^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

3, 18, 108, 648, 3888, 23328, 139968, 839808, 5038848, 30233088

3,18,108,648,3888,23328,139968,839808,5038848,30233088

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{18}{3} = 6$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 6$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 3$ , a razão comum: $r = 6$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 3 * ((1 - 6^{2}) / (1 - 6))$

$s_{2} = 3 * ((1 - 36) / (1 - 6))$

$s_{2} = 3 * (- 35 / (1 - 6))$

$s_{2} = 3 * (- 35 / - 5)$

$s_{2} = 3 \cdot 7$

$s_{2} = 21$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 3$ e a razão comum: $r = 6$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 3 \cdot 6^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 3$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 6^{2 - 1} = 3 \cdot 6^{1} = 3 \cdot 6 = 18$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 6^{3 - 1} = 3 \cdot 6^{2} = 3 \cdot 36 = 108$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 6^{4 - 1} = 3 \cdot 6^{3} = 3 \cdot 216 = 648$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 6^{5 - 1} = 3 \cdot 6^{4} = 3 \cdot 1296 = 3888$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 6^{6 - 1} = 3 \cdot 6^{5} = 3 \cdot 7776 = 23328$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 6^{7 - 1} = 3 \cdot 6^{6} = 3 \cdot 46656 = 139968$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 6^{8 - 1} = 3 \cdot 6^{7} = 3 \cdot 279936 = 839808$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 6^{9 - 1} = 3 \cdot 6^{8} = 3 \cdot 1679616 = 5038848$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 3 \cdot 6^{10 - 1} = 3 \cdot 6^{9} = 3 \cdot 10077696 = 30233088$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas