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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 7, 142857142857143

r=7,142857142857143

A soma desta sequência é:

s = 285

s=285

A forma geral desta série é:

a_{n} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{n - 1}

a_n=35*7,142857142857143^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

35, 250, 1785, 7142857142858, 12755, 10204081633, 91107, 87172011663, 650770, 5122865475, 4648360, 802046767, 33202577, 157476913, 237161265, 4105494, 1694009038, 6467817

35,250,1785,7142857142858,12755,10204081633,91107,87172011663,650770,5122865475,4648360,802046767,33202577,157476913,237161265,4105494,1694009038,6467817

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{250}{35} = 7, 142857142857143$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 7, 142857142857143$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 35$ , a razão comum: $r = 7, 142857142857143$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 35 * ((1 - 7, 142857142857143^{2}) / (1 - 7, 142857142857143))$

$s_{2} = 35 * ((1 - 51, 02040816326531) / (1 - 7, 142857142857143))$

$s_{2} = 35 * (- 50, 02040816326531 / (1 - 7, 142857142857143))$

$s_{2} = 35 * (- 50, 02040816326531 / - 6, 142857142857143)$

$s_{2} = 35 \cdot 8, 142857142857142$

$s_{2} = 285$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 35$ e a razão comum: $r = 7, 142857142857143$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 35$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{2 - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{1} = 35 \cdot 7, 142857142857143 = 250$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{3 - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{2} = 35 \cdot 51, 02040816326531 = 1785, 7142857142858$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{4 - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{3} = 35 \cdot 364, 43148688046654 = 12755, 10204081633$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{5 - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{4} = 35 \cdot 2603, 0820491461895 = 91107, 87172011663$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{6 - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{5} = 35 \cdot 18593, 44320818707 = 650770, 5122865475$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{7 - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{6} = 35 \cdot 132810, 30862990764 = 4648360, 802046767$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{8 - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{7} = 35 \cdot 948645, 0616421975 = 33202577, 157476913$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{9 - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{8} = 35 \cdot 6776036, 154587125 = 237161265, 4105494$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{10 - 1} = 35 \cdot 7, 142857142857143^{9} = 35 \cdot 48400258, 247050904 = 1694009038, 6467817$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas