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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 9

r=9

A soma desta sequência é:

s = 50

s=50

A forma geral desta série é:

a_{n} = 5 \cdot 9^{n - 1}

a_n=5*9^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

5, 45, 405, 3645, 32805, 295245, 2657205, 23914845, 215233605, 1937102445

5,45,405,3645,32805,295245,2657205,23914845,215233605,1937102445

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Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{45}{5} = 9$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 9$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 5$ , a razão comum: $r = 9$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 5 * ((1 - 9^{2}) / (1 - 9))$

$s_{2} = 5 * ((1 - 81) / (1 - 9))$

$s_{2} = 5 * (- 80 / (1 - 9))$

$s_{2} = 5 * (- 80 / - 8)$

$s_{2} = 5 \cdot 10$

$s_{2} = 50$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 5$ e a razão comum: $r = 9$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 5 \cdot 9^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 5$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 9^{2 - 1} = 5 \cdot 9^{1} = 5 \cdot 9 = 45$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 9^{3 - 1} = 5 \cdot 9^{2} = 5 \cdot 81 = 405$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 9^{4 - 1} = 5 \cdot 9^{3} = 5 \cdot 729 = 3645$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 9^{5 - 1} = 5 \cdot 9^{4} = 5 \cdot 6561 = 32805$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 9^{6 - 1} = 5 \cdot 9^{5} = 5 \cdot 59049 = 295245$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 9^{7 - 1} = 5 \cdot 9^{6} = 5 \cdot 531441 = 2657205$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 9^{8 - 1} = 5 \cdot 9^{7} = 5 \cdot 4782969 = 23914845$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 9^{9 - 1} = 5 \cdot 9^{8} = 5 \cdot 43046721 = 215233605$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 9^{10 - 1} = 5 \cdot 9^{9} = 5 \cdot 387420489 = 1937102445$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas