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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 4, 5

r=4,5

A soma desta sequência é:

s = 220

s=220

A forma geral desta série é:

a_{n} = 40 \cdot 4, 5^{n - 1}

a_n=40*4,5^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

40, 180, 810, 3645, 16402, 5, 73811, 25, 332150, 625, 1494677, 8125, 6726050, 15625, 30267225, 703125

40,180,810,3645,16402,5,73811,25,332150,625,1494677,8125,6726050,15625,30267225,703125

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{180}{40} = 4, 5$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 4, 5$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 40$ , a razão comum: $r = 4, 5$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 40 * ((1 - 4, 5^{2}) / (1 - 4, 5))$

$s_{2} = 40 * ((1 - 20, 25) / (1 - 4, 5))$

$s_{2} = 40 * (- 19, 25 / (1 - 4, 5))$

$s_{2} = 40 * (- 19, 25 / - 3, 5)$

$s_{2} = 40 \cdot 5, 5$

$s_{2} = 220$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 40$ e a razão comum: $r = 4, 5$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 40 \cdot 4, 5^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 40$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot 4, 5^{2 - 1} = 40 \cdot 4, 5^{1} = 40 \cdot 4, 5 = 180$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot 4, 5^{3 - 1} = 40 \cdot 4, 5^{2} = 40 \cdot 20, 25 = 810$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot 4, 5^{4 - 1} = 40 \cdot 4, 5^{3} = 40 \cdot 91, 125 = 3645$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot 4, 5^{5 - 1} = 40 \cdot 4, 5^{4} = 40 \cdot 410, 0625 = 16402, 5$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot 4, 5^{6 - 1} = 40 \cdot 4, 5^{5} = 40 \cdot 1845, 28125 = 73811, 25$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot 4, 5^{7 - 1} = 40 \cdot 4, 5^{6} = 40 \cdot 8303, 765625 = 332150, 625$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot 4, 5^{8 - 1} = 40 \cdot 4, 5^{7} = 40 \cdot 37366, 9453125 = 1494677, 8125$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot 4, 5^{9 - 1} = 40 \cdot 4, 5^{8} = 40 \cdot 168151, 25390625 = 6726050, 15625$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 40 \cdot 4, 5^{10 - 1} = 40 \cdot 4, 5^{9} = 40 \cdot 756680, 642578125 = 30267225, 703125$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas