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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 15

r=15

A soma desta sequência é:

s = 3072

s=3072

A forma geral desta série é:

a_{n} = 192 \cdot 15^{n - 1}

a_n=192*15^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

192, 2880, 43200, 648000, 9720000, 145800000, 2187000000, 32805000000, 492075000000, 7381125000000

192,2880,43200,648000,9720000,145800000,2187000000,32805000000,492075000000,7381125000000

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{2880}{192} = 15$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 15$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 192$ , a razão comum: $r = 15$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 192 * ((1 - 15^{2}) / (1 - 15))$

$s_{2} = 192 * ((1 - 225) / (1 - 15))$

$s_{2} = 192 * (- 224 / (1 - 15))$

$s_{2} = 192 * (- 224 / - 14)$

$s_{2} = 192 \cdot 16$

$s_{2} = 3072$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 192$ e a razão comum: $r = 15$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 192 \cdot 15^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 192$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 192 \cdot 15^{2 - 1} = 192 \cdot 15^{1} = 192 \cdot 15 = 2880$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 192 \cdot 15^{3 - 1} = 192 \cdot 15^{2} = 192 \cdot 225 = 43200$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 192 \cdot 15^{4 - 1} = 192 \cdot 15^{3} = 192 \cdot 3375 = 648000$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 192 \cdot 15^{5 - 1} = 192 \cdot 15^{4} = 192 \cdot 50625 = 9720000$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 192 \cdot 15^{6 - 1} = 192 \cdot 15^{5} = 192 \cdot 759375 = 145800000$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 192 \cdot 15^{7 - 1} = 192 \cdot 15^{6} = 192 \cdot 11390625 = 2187000000$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 192 \cdot 15^{8 - 1} = 192 \cdot 15^{7} = 192 \cdot 170859375 = 32805000000$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 192 \cdot 15^{9 - 1} = 192 \cdot 15^{8} = 192 \cdot 2562890625 = 492075000000$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 192 \cdot 15^{10 - 1} = 192 \cdot 15^{9} = 192 \cdot 38443359375 = 7381125000000$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas