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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 7, 5

r=7,5

A soma desta sequência é:

s = 612

s=612

A forma geral desta série é:

a_{n} = 72 \cdot 7, 5^{n - 1}

a_n=72*7,5^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

72, 540, 4050, 30375, 227812, 5, 1708593, 75, 12814453, 125, 96108398, 4375, 720812988, 28125, 5406097412, 109375

72,540,4050,30375,227812,5,1708593,75,12814453,125,96108398,4375,720812988,28125,5406097412,109375

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{540}{72} = 7, 5$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 7, 5$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 72$ , a razão comum: $r = 7, 5$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 72 * ((1 - 7, 5^{2}) / (1 - 7, 5))$

$s_{2} = 72 * ((1 - 56, 25) / (1 - 7, 5))$

$s_{2} = 72 * (- 55, 25 / (1 - 7, 5))$

$s_{2} = 72 * (- 55, 25 / - 6, 5)$

$s_{2} = 72 \cdot 8, 5$

$s_{2} = 612$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 72$ e a razão comum: $r = 7, 5$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 72 \cdot 7, 5^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 72$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 72 \cdot 7, 5^{2 - 1} = 72 \cdot 7, 5^{1} = 72 \cdot 7, 5 = 540$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 72 \cdot 7, 5^{3 - 1} = 72 \cdot 7, 5^{2} = 72 \cdot 56, 25 = 4050$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 72 \cdot 7, 5^{4 - 1} = 72 \cdot 7, 5^{3} = 72 \cdot 421, 875 = 30375$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 72 \cdot 7, 5^{5 - 1} = 72 \cdot 7, 5^{4} = 72 \cdot 3164, 0625 = 227812, 5$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 72 \cdot 7, 5^{6 - 1} = 72 \cdot 7, 5^{5} = 72 \cdot 23730, 46875 = 1708593, 75$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 72 \cdot 7, 5^{7 - 1} = 72 \cdot 7, 5^{6} = 72 \cdot 177978, 515625 = 12814453, 125$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 72 \cdot 7, 5^{8 - 1} = 72 \cdot 7, 5^{7} = 72 \cdot 1334838, 8671875 = 96108398, 4375$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 72 \cdot 7, 5^{9 - 1} = 72 \cdot 7, 5^{8} = 72 \cdot 10011291, 50390625 = 720812988, 28125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 72 \cdot 7, 5^{10 - 1} = 72 \cdot 7, 5^{9} = 72 \cdot 75084686, 27929688 = 5406097412, 109375$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas