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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 10, 090909090909092

r=10,090909090909092

A soma desta sequência é:

s = 1098

s=1098

A forma geral desta série é:

a_{n} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{n - 1}

a_n=99*10,090909090909092^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

99, 999, 0000000000001, 10080, 818181818182, 101724, 61983471076, 1026493, 8910593543, 10358256, 537053484, 104524225, 05572152, 1054744452, 8350084, 10643330387, 69872, 107400879366, 77802

99,999,0000000000001,10080,818181818182,101724,61983471076,1026493,8910593543,10358256,537053484,104524225,05572152,1054744452,8350084,10643330387,69872,107400879366,77802

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{999}{99} = 10, 090909090909092$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 10, 090909090909092$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 99$ , a razão comum: $r = 10, 090909090909092$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 99 * ((1 - 10, 090909090909092^{2}) / (1 - 10, 090909090909092))$

$s_{2} = 99 * ((1 - 101, 82644628099175) / (1 - 10, 090909090909092))$

$s_{2} = 99 * (- 100, 82644628099175 / (1 - 10, 090909090909092))$

$s_{2} = 99 * (- 100, 82644628099175 / - 9, 090909090909092)$

$s_{2} = 99 \cdot 11, 090909090909092$

$s_{2} = 1098$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 99$ e a razão comum: $r = 10, 090909090909092$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 99$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{2 - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{1} = 99 \cdot 10, 090909090909092 = 999, 0000000000001$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{3 - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{2} = 99 \cdot 101, 82644628099175 = 10080, 818181818182$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{4 - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{3} = 99 \cdot 1027, 521412471826 = 101724, 61983471076$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{5 - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{4} = 99 \cdot 10368, 6251622157 = 1026493, 8910593543$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{6 - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{5} = 99 \cdot 104628, 85390963116 = 10358256, 537053484$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{7 - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{6} = 99 \cdot 1055800, 2530880962 = 104524225, 05572152$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{8 - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{7} = 99 \cdot 10653984, 372070791 = 1054744452, 8350084$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{9 - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{8} = 99 \cdot 107508387, 75453253 = 10643330387, 69872$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{10 - 1} = 99 \cdot 10, 090909090909092^{9} = 99 \cdot 1084857367, 341192 = 107400879366, 77802$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas