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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = 9, \frac{33}{2}

x=9 , \frac{33}{2}

Forma de número misto:

x = 9, 16 \frac{1}{2}

x=9 , 16\frac{1}{2}

Forma decimal:

x = 9, 16, 5

x=9 , 16,5

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{1}{2} x - 7 | = | \frac{1}{6} x - 4 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 7 \| = \| \frac{1}{6} x - 4 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = - (\frac{1}{6} x - 4)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 7 \| = \| \frac{1}{6} x - 4 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} x - 7) = - (\frac{1}{6} x - 4)$

2. Resolva as duas equações para x

22 passos adicionais

$(\frac{1}{2} \cdot x - 7) = (\frac{1}{6} x - 4)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{1}{2} x - 7) - \frac{1}{6} \cdot x = (\frac{1}{6} x - 4) - \frac{1}{6} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{6} \cdot x) - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 1}{6}) x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{- 1}{6}) x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{- 1}{6}) x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{3}{6} + \frac{- 1}{6}) x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Combinar as frações:

$\frac{(3 - 1)}{6} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{2}{6} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$\frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$\frac{1}{3} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x - 4) - \frac{1}{6} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{1}{3} \cdot x - 7 = (\frac{1}{6} \cdot x + \frac{- 1}{6} x) - 4$

Combinar as frações:

$\frac{1}{3} \cdot x - 7 = \frac{(1 - 1)}{6} x - 4$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{3} \cdot x - 7 = \frac{0}{6} x - 4$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{1}{3} x - 7 = 0 x - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{3} x - 7 = - 4$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{3} x - 7) + 7 = - 4 + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{3} x = - 4 + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{3} x = 3$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{1}{3} x) \cdot \frac{3}{1} = 3 \cdot \frac{3}{1}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{3} \cdot 3) x = 3 \cdot \frac{3}{1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(1 \cdot 3)}{3} x = 3 \cdot \frac{3}{1}$

Simplificar a fração:

$x = 3 \cdot \frac{3}{1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = 9$

24 passos adicionais

$(\frac{1}{2} x - 7) = - (\frac{1}{6} x - 4)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{1}{2} \cdot x - 7) = \frac{- 1}{6} x + 4$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{2} x - 7) + \frac{1}{6} \cdot x = (\frac{- 1}{6} x + 4) + \frac{1}{6} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{6} \cdot x) - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}) x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{1}{6}) x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{1}{6}) x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{3}{6} + \frac{1}{6}) x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Combinar as frações:

$\frac{(3 + 1)}{6} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{4}{6} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$\frac{(2 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$\frac{2}{3} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + 4) + \frac{1}{6} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{2}{3} \cdot x - 7 = (\frac{- 1}{6} \cdot x + \frac{1}{6} x) + 4$

Combinar as frações:

$\frac{2}{3} \cdot x - 7 = \frac{(- 1 + 1)}{6} x + 4$

Combinar os numeradores:

$\frac{2}{3} \cdot x - 7 = \frac{0}{6} x + 4$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{2}{3} x - 7 = 0 x + 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{2}{3} x - 7 = 4$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{2}{3} x - 7) + 7 = 4 + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{2}{3} x = 4 + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{2}{3} x = 11$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{2}{3} x) \cdot \frac{3}{2} = 11 \cdot \frac{3}{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}) x = 11 \cdot \frac{3}{2}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(2 \cdot 3)}{(3 \cdot 2)} x = 11 \cdot \frac{3}{2}$

Simplificar a fração:

$x = 11 \cdot \frac{3}{2}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(11 \cdot 3)}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{33}{2}$

3. Liste as soluções

$x = 9, \frac{33}{2}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{1}{2} x - 7 |$
$y = | \frac{1}{6} x - 4 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

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