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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

y = \frac{15}{2}, - \frac{35}{6}

y=\frac{15}{2} , -\frac{35}{6}

Forma de número misto:

y = 7 \frac{1}{2}, - 5 \frac{5}{6}

y=7\frac{1}{2} , -5\frac{5}{6}

Forma decimal:

y = 7, 5, - 5, 833

y=7,5 , -5,833

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{2}{5} y + 5 | = | \frac{4}{5} y + 2 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{2}{5} y + 5 \| = \| \frac{4}{5} y + 2 \|$
$x = + y$	$(\frac{2}{5} y + 5) = (\frac{4}{5} y + 2)$
$x = - y$	$(\frac{2}{5} y + 5) = - (\frac{4}{5} y + 2)$
$+ x = y$	$(\frac{2}{5} y + 5) = (\frac{4}{5} y + 2)$
$- x = y$	$- (\frac{2}{5} y + 5) = (\frac{4}{5} y + 2)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{2}{5} y + 5 \| = \| \frac{4}{5} y + 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{2}{5} y + 5) = (\frac{4}{5} y + 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{2}{5} y + 5) = - (\frac{4}{5} y + 2)$

2. Resolva as duas equações para y

20 passos adicionais

$(\frac{2}{5} \cdot y + 5) = (\frac{4}{5} y + 2)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{2}{5} y + 5) - \frac{4}{5} \cdot y = (\frac{4}{5} y + 2) - \frac{4}{5} y$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{2}{5} \cdot y + \frac{- 4}{5} \cdot y) + 5 = (\frac{4}{5} \cdot y + 2) - \frac{4}{5} y$

Combinar as frações:

$\frac{(2 - 4)}{5} \cdot y + 5 = (\frac{4}{5} \cdot y + 2) - \frac{4}{5} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 2}{5} \cdot y + 5 = (\frac{4}{5} \cdot y + 2) - \frac{4}{5} y$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{- 2}{5} \cdot y + 5 = (\frac{4}{5} \cdot y + \frac{- 4}{5} y) + 2$

Combinar as frações:

$\frac{- 2}{5} \cdot y + 5 = \frac{(4 - 4)}{5} y + 2$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 2}{5} \cdot y + 5 = \frac{0}{5} y + 2$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{- 2}{5} y + 5 = 0 y + 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 2}{5} y + 5 = 2$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{- 2}{5} y + 5) - 5 = 2 - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 2}{5} y = 2 - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 2}{5} y = - 3$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{- 2}{5} y) \cdot \frac{5}{- 2} = - 3 \cdot \frac{5}{- 2}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$\frac{- 2}{5} y \cdot \frac{- 5}{2} = - 3 \cdot \frac{5}{- 2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{- 2}{5} \cdot \frac{- 5}{2}) y = - 3 \cdot \frac{5}{- 2}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 2 \cdot - 5)}{(5 \cdot 2)} y = - 3 \cdot \frac{5}{- 2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$1 y = - 3 \cdot \frac{5}{- 2}$

$y = - 3 \cdot \frac{5}{- 2}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$y = - 3 \cdot \frac{- 5}{2}$

Multiplicar as frações:

$y = \frac{(- 3 \cdot - 5)}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$y = \frac{15}{2}$

18 passos adicionais

$(\frac{2}{5} y + 5) = - (\frac{4}{5} y + 2)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{2}{5} \cdot y + 5) = \frac{- 4}{5} y - 2$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{2}{5} y + 5) + \frac{4}{5} \cdot y = (\frac{- 4}{5} y - 2) + \frac{4}{5} y$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{2}{5} \cdot y + \frac{4}{5} \cdot y) + 5 = (\frac{- 4}{5} \cdot y - 2) + \frac{4}{5} y$

Combinar as frações:

$\frac{(2 + 4)}{5} \cdot y + 5 = (\frac{- 4}{5} \cdot y - 2) + \frac{4}{5} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{6}{5} \cdot y + 5 = (\frac{- 4}{5} \cdot y - 2) + \frac{4}{5} y$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{6}{5} \cdot y + 5 = (\frac{- 4}{5} \cdot y + \frac{4}{5} y) - 2$

Combinar as frações:

$\frac{6}{5} \cdot y + 5 = \frac{(- 4 + 4)}{5} y - 2$

Combinar os numeradores:

$\frac{6}{5} \cdot y + 5 = \frac{0}{5} y - 2$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{6}{5} y + 5 = 0 y - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{6}{5} y + 5 = - 2$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{6}{5} y + 5) - 5 = - 2 - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{6}{5} y = - 2 - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{6}{5} y = - 7$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{6}{5} y) \cdot \frac{5}{6} = - 7 \cdot \frac{5}{6}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6}) y = - 7 \cdot \frac{5}{6}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(6 \cdot 5)}{(5 \cdot 6)} y = - 7 \cdot \frac{5}{6}$

Simplificar a fração:

$y = - 7 \cdot \frac{5}{6}$

Multiplicar as frações:

$y = \frac{(- 7 \cdot 5)}{6}$

Simplificar a expressão aritmética:

$y = \frac{- 35}{6}$

3. Liste as soluções

$y = \frac{15}{2}, - \frac{35}{6}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{2}{5} y + 5 |$
$y = | \frac{4}{5} y + 2 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para y

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