Решение - Свойства эллипсов

$$h$$ представляет собой смещение по оси x от начала.
$$k$$ представляет собой смещение по оси y от начала.
Чтобы найти значение $$h$$ и $$k$$, используйте стандартную форму вертикального эллипса:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{169}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Центр: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ представляет собой более длинный радиус эллипса, который равен половине большей оси.
Это называется полу-главной осью.
Чтобы найти значение $$a$$, используйте стандартную форму вертикального эллипса:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{169}=1$$
$$a^2=169$$
Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:
$$a=13$$

Поскольку $$a$$ представляет собой расстояние, его значение может быть только положительным.

В вертикальном эллипсе, главная ось параллельна оси y и проходит через вершины эллипса. Найдите вершины, прибавив и вычтя $$a$$ от y-координаты ($$k$$) центра.

Чтобы найти вершину_1, добавьте $$a$$ к координате y ($$k$$) центра:
Вершина_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=13$$
Вершина_1: $$\left(0,0+13\right)$$
Вершина_1: $$\left(0;13\right)$$

Чтобы найти вершину_2, вычтите $$a$$ из координаты y ($$k$$) центра:
Вершина_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=13$$
Вершина_2: $$\left(0,0-13\right)$$
Вершина_2: $$\left(0;-13\right)$$

$$b$$ представляет собой меньший радиус эллипса, который равен половине меньшей оси. Это называется полу-малой оси.
Чтобы найти значение $$b$$, используйте стандартную форму вертикального эллипса:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{169}=1$$
$$b^2=25$$
Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:
$$b=5$$
Поскольку b представляет собой расстояние, оно имеет только положительное значение.

В вертикальном эллипсе меньшая ось проходит параллельно оси x и проходит через ко-вершины эллипса.
Найдите ко-вершины, добавив и вычитая $$b$$ из x-координаты ($$h$$) центра.

Чтобы найти ко-вершину_1, добавьте $$b$$ к x-координате ($$h$$) центра:
Co-vertex_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=5$$
Co-vertex_1: $$\left(0+5,0\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(5;0\right)$$

Чтобы найти ко-вершину_2, вычтите $$b$$ из x-координаты ($$h$$) центра:
Co-vertex_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=5$$
Co-vertex_2: $$\left(0-5,0\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(-5;0\right)$$

Фокусное расстояние - это расстояние от центра эллипса до каждой фокусной точки, обычно обозначаемой $$f$$.

Чтобы найти $$f$$, используйте формулу:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=169$$
$$b^2=25$$
Вставьте $$a^2$$ и $$b^2$$ в формулу и упростите:

$$f=\sqrt{169-25}$$

$$f=\sqrt{144}$$

$$f=12$$

Поскольку $$f$$ представляет собой расстояние, его значение может быть только положительным.

В вертикальном эллипсе большая ось проходит параллельно оси y и чеpез фокусы.
Найдите фокусы, добавив и вычтя $$f$$ из y-координаты $$\left(k\right)$$ центра.

Чтобы найти фокус_1, добавьте $$f$$ к y-координате $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=12$$
Фокус_1: $$\left(0,0+12\right)$$
Фокус_1: $$\left(0;12\right)$$

Чтобы найти фокус_2, вычтите $$f$$ из y-координаты $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=12$$
Фокус_2: $$\left(0,0-12\right)$$
Фокус_2: $$\left(0;-12\right)$$

Используйте формулу для нахождения площади эллипса, чтобы найти площадь эллипса:
$$\pi ·a·b$$
$$a=13$$
$$b=5$$
Подставьте $$a$$ и $$b$$ в формулу и упростите:

$$\pi ·13·5$$

$$\pi ·65$$

Площадь равна $$65\pi$$

Чтобы найти x-пересечение(я), подставьте $$0$$ вместо $$y$$ в стандартное уравнение эллипса и решите полученное квадратное уравнение для $$x$$.
Нажмите здесь, чтобы посмотреть пошаговое объяснение квадратного уравнения.

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{169}=1$$

$$\frac{x^2}{25}+\frac{0^2}{169}=1$$

$$x_1=5$$

$$x_2=-5$$

Чтобы найти y-пересечение(я), подставьте $$0$$ вместо $$x$$ в стандартное уравнение эллипса и решите полученное квадратное уравнение для $$y$$.
Нажмите здесь, чтобы посмотреть пошаговое объяснение квадратного уравнения.

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{169}=1$$

$$\frac{0^2}{25}+\frac{y^2}{169}=1$$

$$y_1=13$$

$$y_2=-13$$

Чтобы найти эксцентриситет, используйте формулу:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=169$$
$$b^2=25$$
$$a=13$$
Подставьте $$a^2$$ , $$b^2$$ и $$a$$ в формулу:

$$\frac{\sqrt{169-25}}{13}$$

$$\frac{\sqrt{144}}{13}$$

$$\frac{12}{13}$$

$$\frac{12}{13}$$

Эксцентриситет равен $$0,923$$