Введи уравнение или задачу

Подключенная камера не распознана!

Решение - Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Точная форма:

x_{1} = - \frac{6}{11} + \frac{\sqrt{91}}{11}

x_1=-\frac{6}{11}+\frac{\sqrt{91}}{11}

x_{2} = - \frac{6}{11} - \frac{\sqrt{91}}{11}

x_2=-\frac{6}{11}-\frac{\sqrt{91}}{11}

Десятичная форма:

x_{1} = 0, 322

x_1=0,322

x_{2} = - 1, 413

x_2=-1,413

Показать шаги

Пошаговое объяснение

1. Определите коэффициенты

Используйте стандартную форму квадратного уравнения, $a x^{2} + b x + c = 0$ , чтобы найти коэффициенты:

$11 x^{2} + 12 x - 5 = 0$

$a = 11$
$b = 12$
$c = - 5$

2. Делаем коэффициент a равным 1

Поскольку $a = 11$ , поделим все коэффициенты и константы на обеих сторонах уравнения на $11$ :

$11 x^{2} + 12 x - 5 = 0$

$\frac{11}{11} x^{2} + 12 \frac{x}{11} - \frac{5}{11} = \frac{0}{11}$

Упростить выражение

$x^{2} + \frac{12}{11} x - \frac{5}{11} = 0$

Коэффициенты:
$a = 1$
$b = \frac{12}{11}$
$c = - \frac{5}{11}$

3. Переместите константу на правую сторону уравнения и объедините

Добавьте $\frac{5}{11}$ к обеим сторонам уравнения:

$x^{2} + \frac{12}{11} x - \frac{5}{11} = 0$

$x^{2} + \frac{12}{11} x - \frac{5}{11} + \frac{5}{11} = 0 + \frac{5}{11}$

$x^{2} + \frac{12}{11} x = \frac{5}{11}$

4. Завершите квадрат

Чтобы превратить левую сторону уравнения в перфектный квадрат трехчлена, добавьте к уравнению новую константу, равную ${(\frac{b}{2})}^{2}$ :

$b = \frac{12}{11}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{\frac{12}{11}}{2})}^{2}$

Используйте правило дробей с экспонентами ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{\frac{12}{11}}{2})}^{2} = \frac{{(\frac{12}{11})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(\frac{12}{11})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{144}{121}}{4}$

$\frac{\frac{144}{121}}{4} = \frac{144}{121} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{144}{121} \cdot \frac{1}{4} = \frac{36}{121}$

Добавьте $\frac{36}{121}$ к обеим сторонам уравнения:

5 дополнительных шагов

$x^{2} + \frac{12}{11} x = \frac{5}{11}$

$x^{2} + \frac{12}{11} x + \frac{36}{121} = \frac{5}{11} + \frac{36}{121}$

Найти наименьший общий знаменатель:

$x^{2} + \frac{12}{11} x + \frac{36}{121} = \frac{(5 \cdot 11)}{(11 \cdot 11)} + \frac{36}{121}$

Умножить знаменатели:

$x^{2} + \frac{12}{11} x + \frac{36}{121} = \frac{(5 \cdot 11)}{121} + \frac{36}{121}$

Умножить числители:

$x^{2} + \frac{12}{11} x + \frac{36}{121} = \frac{55}{121} + \frac{36}{121}$

Объединить дроби:

$x^{2} + \frac{12}{11} x + \frac{36}{121} = \frac{(55 + 36)}{121}$

Объединить числители:

$x^{2} + \frac{12}{11} x + \frac{36}{121} = \frac{91}{121}$

Теперь у нас есть идеальный квадрат трехчлена, мы можем записать его в виде идеальной квадратной форме, прибавив половину коэффициента $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = \frac{12}{11}$

2 дополнительных шагов

$\frac{b}{2} = \frac{\frac{12}{11}}{2}$

Упростить деление:

$\frac{b}{2} = \frac{12}{(11 \cdot 2)}$

Убрать члены:

$\frac{b}{2} = \frac{6}{11}$

$x^{2} + \frac{12}{11} x + \frac{36}{121} = \frac{91}{121}$

${(x + \frac{6}{11})}^{2} = \frac{91}{121}$

5. Решите уравнение относительно $x$

Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения: ВАЖНО: При нахождении квадратного корня из константы мы получаем два решения: положительное и отрицательное

${(x + \frac{6}{11})}^{2} = \frac{91}{121}$

$\sqrt{{(x + \frac{6}{11})}^{2}} = \sqrt{\frac{91}{121}}$

Отмените квадрат и квадратный корень на левой стороне уравнения:

$x + \frac{6}{11} = \pm \sqrt{\frac{91}{121}}$

Вычесть \frac{6}{11} с обеих сторон

$x + \frac{6}{11} - \frac{6}{11} = - \frac{6}{11} \pm \sqrt{\frac{91}{121}}$

Упростить левую часть

$x = - \frac{6}{11} \pm \sqrt{\frac{91}{121}}$

$x = - \frac{6}{11} \pm \frac{\sqrt{91}}{\sqrt{121}}$

$x = - \frac{6}{11} \pm \frac{\sqrt{91}}{11}$

$x_{1} = - \frac{6}{11} + \frac{\sqrt{91}}{11}$
$x_{2} = - \frac{6}{11} - \frac{\sqrt{91}}{11}$

Как у нас получилось?

Оставь нам отзыв

Зачем это учить

В основной своей функции квадратные уравнения определяют формы, такие как круги, эллипсы и параболы. Эти формы в свою очередь могут использоваться для предсказания кривой движущегося объекта, например, мяча, ударенного футболистом или выстреленного из пушки.
На что лучше всего обратить внимание при движении объекта в пространстве, если не на само пространство, с революцией планет вокруг солнца в нашей солнечной системе. Квадратное уравнение использовалось для установления того, что орбиты планет эллиптичны, а не круговые. Возможно определить путь и скорость, с которыми объект перемещается по пространству, даже после его остановки: квадратное уравнение может рассчитать, с какой скоростью двигался автомобиль при столкновении. Имея такую информацию, автомобильная промышленность может разрабатывать тормоза для предотвращения столкновений в будущем. Многие отрасли используют квадратное уравнение для предсказания и, следовательно, улучшения срока службы и безопасности своих продуктов.

Термины и темы

Решение квадратных уравнений путем выделения полного квадрата