Решение - Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Используйте стандартную форму квадратного уравнения, $$a{x}^2+bx+c=0$$ , чтобы найти коэффициенты:

$$3k^2-31k-36=0$$

$$a=3$$
$$b=-31$$
$$c=-36$$

Поскольку $$a=3$$, поделим все коэффициенты и константы на обеих сторонах уравнения на $$3$$:

$$3k^2-31k-36=0$$

$$\frac{3}{3}{k}^2-31\frac{k}{3}-\frac{36}{3}=\frac{0}{3}$$

$$k^2-\frac{31}{3}k-12=0$$

Коэффициенты:
$$a=1$$
$$b=-\frac{31}{3}$$
$$c=-12$$

Добавьте $$12$$ к обеим сторонам уравнения:

$$k^2-\frac{31}{3}k-12=0$$

$$k^2-\frac{31}{3}k-12+12=0+12$$

$$k^2-\frac{31}{3}k=12$$

Чтобы превратить левую сторону уравнения в перфектный квадрат трехчлена, добавьте к уравнению новую константу, равную $${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ :

$$b=-\frac{31}{3}$$

Добавьте $$\frac{961}{36}$$ к обеим сторонам уравнения:

Теперь у нас есть идеальный квадрат трехчлена, мы можем записать его в виде идеальной квадратной форме, прибавив половину коэффициента $$b$$, $$\frac{b}{2}$$ :
$$b=-\frac{31}{3}$$

$$k^2-\frac{31}{3}k+\frac{961}{36}=\frac{1393}{36}$$

$${\left(k-\frac{31}{6}\right)}^2=\frac{1393}{36}$$

Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения: ВАЖНО: При нахождении квадратного корня из константы мы получаем два решения: положительное и отрицательное

$${\left(k-\frac{31}{6}\right)}^2=\frac{1393}{36}$$

$$\sqrt{{\left(k-\frac{31}{6}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1393}{36}}$$

$$k-\frac{31}{6}=\pm \sqrt{\frac{1393}{36}}$$

$$k-\frac{31}{6}+\frac{31}{6}=\frac{31}{6}\pm \sqrt{\frac{1393}{36}}$$

$$k=\frac{31}{6}\pm \sqrt{\frac{1393}{36}}$$

$$k=\frac{31}{6}\pm \frac{\sqrt{1393}}{\sqrt{36}}$$

$$k=\frac{31}{6}\pm \frac{\sqrt{1393}}{6}$$

$$k_1=\frac{31}{6}+\frac{\sqrt{1393}}{6}$$
$$k_2=\frac{31}{6}-\frac{\sqrt{1393}}{6}$$