Решение - Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

$$72f^2+4f=27$$

$$72f^2+4f-27=27-27$$

$$72f^2+4f-27=0$$

Используйте стандартную форму квадратного уравнения, $$a{x}^2+bx+c=0$$ , чтобы найти коэффициенты:

$$72f^2+4f-27=0$$

$$a=72$$
$$b=4$$
$$c=-27$$

Поскольку $$a=72$$, поделим все коэффициенты и константы на обеих сторонах уравнения на $$72$$:

$$72f^2+4f-27=0$$

$$\frac{72}{72}{f}^2+4\frac{f}{72}-\frac{27}{72}=\frac{0}{72}$$

$$f^2+\frac{1}{18}f-\frac{3}{8}=0$$

Коэффициенты:
$$a=1$$
$$b=\frac{1}{18}$$
$$c=-\frac{3}{8}$$

Добавьте $$\frac{3}{8}$$ к обеим сторонам уравнения:

$$f^2+\frac{1}{18}f-\frac{3}{8}=0$$

$$f^2+\frac{1}{18}f-\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=0+\frac{3}{8}$$

$$f^2+\frac{1}{18}f=\frac{3}{8}$$

Чтобы превратить левую сторону уравнения в перфектный квадрат трехчлена, добавьте к уравнению новую константу, равную $${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ :

$$b=\frac{1}{18}$$

Добавьте $$\frac{1}{1296}$$ к обеим сторонам уравнения:

Теперь у нас есть идеальный квадрат трехчлена, мы можем записать его в виде идеальной квадратной форме, прибавив половину коэффициента $$b$$, $$\frac{b}{2}$$ :
$$b=\frac{1}{18}$$

$$f^2+\frac{1}{18}f+\frac{1}{1296}=\frac{487}{1296}$$

$${\left(f+\frac{1}{36}\right)}^2=\frac{487}{1296}$$

Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения: ВАЖНО: При нахождении квадратного корня из константы мы получаем два решения: положительное и отрицательное

$${\left(f+\frac{1}{36}\right)}^2=\frac{487}{1296}$$

$$\sqrt{{\left(f+\frac{1}{36}\right)}^2}=\sqrt{\frac{487}{1296}}$$

$$f+\frac{1}{36}=\pm \sqrt{\frac{487}{1296}}$$

$$f+\frac{1}{36}-\frac{1}{36}=-\frac{1}{36}\pm \sqrt{\frac{487}{1296}}$$

$$f=-\frac{1}{36}\pm \sqrt{\frac{487}{1296}}$$

$$f=-\frac{1}{36}\pm \frac{\sqrt{487}}{\sqrt{1296}}$$

$$f=-\frac{1}{36}\pm \frac{\sqrt{487}}{36}$$

$$f_1=-\frac{1}{36}+\frac{\sqrt{487}}{36}$$
$$f_2=-\frac{1}{36}-\frac{\sqrt{487}}{36}$$