Tiger Algebra Kalkulator

Normalna distribucija
Normalna distribucija (poznata i kao Gausova, Gausova, ili Laplas-Gausova distribucija, ili 'zvono') je verovatnosna distribucija koja povezuje kumulativnu verovatnoću sa slučajnom promenljivom $$X$$. Centar normalne distribucije je uvek smešten na sredini, preko koje je distribucija potpuno simetrična.



Oznake
Statističari obično koriste velika slova da bi predstavili slučajne promenljive, a mala slova da predstave njihove vrednosti. Na primer:

• $$x$$ je vrednost slučajne promenljive $$X$$.
• $$x$$ predstavlja verovatnoću $$P\left(X\right)$$.
• $$P\left(X=x\right)$$ predstavlja verovatnoću da je slučajna promenljiva $$X$$ jednaka određenoj vrednosti $$x$$. Na primer, $$P\left(X=1\right)$$ se odnosi na verovatnoću da je slučajna promenljiva $$X$$ jednaka $$1$$.

Drugi primeri
$$P\left(30<X\right)$$: Kakva je verovatnoća da je $$X$$ veće od $$30$$?
$$P\left(X<80\right)$$: Kakva je verovatnoća da je $$X$$ manje od $$80$$?
$$P\left(30<X<80\right)$$: Kakva je verovatnoća da je $$X$$ između $$30$$ i $$80$$?
$$P\left(30>X>80\right)$$: Kakva je verovatnoća da je $$X$$ veće od $$80$$ i manje od $$30$$?

Parametri normalne distribucije
Srednja vrednost i standardna devijacija su dva glavna parametra normalne distribucije. Oni određuju oblik distribucije i verovatnoće.

Srednja vrednost
$$\mu$$ ili $$x̅$$
Srednja vrednost je mesto na kojem se nalazi centar i vrh distribucije, što znači da bilo kakve promene u srednjoj vrednosti pomeraju krivu distribucije levo ili desno duž x-ose. Većina podataka (vrednosti) se nalazi oko srednje vrednosti.

Standardna devijacija
$$\sigma$$ ili $$s$$
Standardna devijacija meri koliko su podaci udaljeni od srednje vrednosti distribucije. Određuje širinu normalne distribucije. Veća standardna devijacija rezultira kraćim, širim krivama, a manje standardne devijacije rezultiraju višim, užim krivim.

Svojstva normalne distribucije

1. Simetrična je
   Normalna distribucija je savršeno simetrična, što znači da se kriva distribucije može presaviti na sredini, duž srednje vrednosti, da bi se proizvele dve identične polovine. Ovaj simetrični oblik je rezultat padanja polovine opservacija sa svake strane krive.
2. Prosek, mediana i modus su svi jednaki
   Pošto je normalna distribucija simetrična, njen centar predstavlja prosečnu, ili srednju vrednost, svih podataka. To znači da se i njena medijana (vrednost u sredini seta kada su vrednosti poređane od najmanje do najveće) nalazi u centru distribucije i ista je kao srednja vrednost. Vrh, najviša tačka krive normalne distribucije, takođe se događa da se nalazi u centru grafikona, što znači da je modus distribucije, njena najčešće se pojavljujuća vrednost i stoga najviša tačka na grafikonu, takođe lociran u centru distribucije. Ovi podaci normalne distribucije predstavljaju podatke (vrednosti) koji se javljaju. Prosečna vrednost je centar distribucije jer se prosečna vrednost najčešće pojavljuje. Središnja tačka je takođe tačka gde padaju ove tri mere. Mere su obično jednake u savršenoj (normalnoj) distribuciji. Polovina populacije je manja od proseka, a polovina je veća od prosečne vrednosti.
3. Empirijsko pravilo
   Takođe poznato kao 68-95-99.7 pravilo. Empirijsko pravilo opisuje procenat podataka koji se nalaze u okviru određenog broja standardnih devijacija od prosečne vrednosti za krive u obliku zvona.
   
   U podacima sa normalnom distribucijom, postoji konstantan proporcija rastojanja koja leže ispod krive između proseka i određenog broja standardnih devijacija od proseka. Empirijsko pravilo vam omogućava da odredite proporciju vrednosti koje padaju unutar određenih rastojanja od proseka.
   
   68.25% svih slučajeva pada u okviru +/- jedne standardne devijacije od proseka.
   95% svih slučajeva pada u okviru +/- dve standardne devijacije od proseka.
   99.7% svih slučajeva pada u okviru +/- tri standardne devijacije od proseka.
   
   

Standardna normalna distribucija

Standardna normalna distribucija je poseban slučaj normalne distribucije u kojoj je prosjek nula, a standardna devijacija je jedan. Ova distribucija se takođe naziva Z-distribucija.



Oznake

• $$z$$ je "z-skor" (standardni skor) - z skor pokazuje koliko je standardnih devijacija vrednost udaljena od proseka.
• $$\mu$$ (mi) je prosek.
• $$\sigma$$ (sigma") je standardna devijacija.

Standardni skorovi

Vrednost na standardnoj normalnoj distribuciji se naziva standardni skor ili z-skor. Predstavlja broj standardnih devijacija iznad ili ispod proseka koja specifična opservacija pada.
Na primer, standardni skor $$1.5$$ pokazuje da je opservacija $$1.5$$ standardne devijacije iznad proseka. Negativan standardni skor predstavlja vrednost ispod proseka. Prosečna vrednost ima z-skor $$0$$.
Više od 99.9% svih slučajeva pada unutar +/- 3.9 standardne devijacije od proseka. Tako smatramo da je verovatnoća bilo kojeg podatka sa z-skorom većim od $$3.9$$ ili manjim od $$-3.9$$ jednak 0%. Drugim rečima, smatramo interval između $$-3.9$$ i $$3.9$$ kao 100% standardne normalne distribucije.

Pronalaženje područja ispod krive standardne normalne distribucije

Normalna distribucija je verovatnosna distribucija. Kao kod bilo koje verovatnosne distribucije, proprocija područja koje pada ispod krive između dve tačke na grafiku verovatnosne distribucije pokazuje verovatnoću da će vrednosti pasti unutar tog intervala.
Područje ispod krive iznosi $$1$$, i to je 100% distribucije. $$1$$=100%.
Kada dobijete z-skor, možete pronaći područje do njega gledajući tabelu standardne normalne distribucije. Takođe poznata kao tabela z-skorova. (link za tabelu dolazi uskoro)
Pošto tabela z-skorova pokazuje područje do vrednosti z-skorova, kada želite da pronađete verovatnoću podataka sa većim z-skorovima, morate oduzeti broj iz tabele od $$1$$. To se može pokazati kao pravilo:
$$P\left(z>a\right)=1-P\left(z<a\right)$$
Kada ne pronađemo savršen z-skor u tabeli, biramo onaj koji je najbliži. Ako su 2 najbliža z-skorova na istoj udaljenosti od našeg želenog z-skorova, izračunavamo njihovu srednju vrednost.

Drugi primeri
$$P\left(0.15<z\right)$$ - Kakva je verovatnoća podataka sa z-skorom koji je veći od $$0.15$$?
$$P\left(z<2.92\right)$$ - Kakva je verovatnoća podataka sa z-skorom koji je manji od $$2.92$$?
$$P\left(0.15<z<2.92\right)$$ - Kakva je verovatnoća podataka sa z-skorom koji je između $$0.15$$ i $$2.92$$?
$$P\left(0.15>z>2.92\right)$$ - Kakva je verovatnoća podataka sa z-skorom koji je veći od $$2.92$$ i manji od $$0.15$$?

Standardizacija

Izračunavanje z-skorova
Standardni skorovi su odličan način za razumijevanje gde se određena opservacija nalazi u odnosu na celu normalnu distribuciju. Takođe vam omogućava da uzmete opservacije izvučene iz normalno raspoređenih populacija sa različitim prosekom i standardnim devijacijama i postavite ih na standardnu skalu. Nakon standardizacije podataka, možete ih postaviti unutar standardne normalne distribucije.
Na ovaj način, standardizacija vam omogućava da upoređujete različite vrste opservacija na osnovu gde se svaka opservacija nalazi unutar svoje distribucije.
Da biste izračunali standardni skor za opservaciju, uzimate sirovo merenje, oduzimate prosečnu vrednost i delite standardnom devijacijom. Matematički, formula za taj proces je sledeća:
$$z=\left(x-\mu \right)/\sigma$$
$$x$$ predstavlja sirovu vrednost merenja od interesa. To je vrednost koja treba da se standardizuje - ponekad se zove tačka podataka.
$$\mu$$ (mi) i $$\sigma$$ (sigma) predstavljaju parametre za populaciju iz koje je izvučena opservacija.

Još povezanih termina

Skju
Skju odnosi na iskrivljenost ili asimetriju koja odstupa od simetričnog zvona, ili normalne distribucije, u skupu podataka. Ako je kriva pomaknuta ulevo ili udesno, kaže se da je iskrivljena. Skju se može kvantifikovati kao predstavnik stepena do kojeg se određena distribucija razlikuje od normalne distribucije. Skju razlikuje ekstremne vrednosti u jednom naspram drugog repa. Normalna distribucija ima skju nulu.

Kurtoza
Kurtoza mere ekstremne vrednosti u bilo kom repu. Distribucije sa velikom kurtozom pokazuju podatke repa koji prevazilaze repove normalne distribucije. Distribucije sa niskom kurtozom pokazuju podatke repa koji su generalno manje ekstremni od repova normalne distribucije. Kurtoza je mera kombinovanja težine repova distribucije u odnosu na centar distribucije. Kada se set podataka koji su otprilike normalni grafički prikaže preko histograma, pokazuje vrh zvona i većinu podataka unutar tri standardne devijacije (plus ili minus) od proseka. Međutim, kada je prisutna visoka kurtoza, repovi se protežu dalje od tri standardne devijacije normalne distribucije u obliku zvona.