Рішення - Властивості еліпсів

$$a$$ представляє довший радіус еліпса, який дорівнює половині основної осі.
Це називається півосі.
Для того, щоб знайти значення $$a$$, використовуйте стандартну форму еліпса по вертикалі:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{169}=1$$
$$a^2=169$$
Візьміть квадратний корінь з обох сторін рівняння:
$$a=13$$

Оскільки $$a$$ представляє відстань, воно має тільки позитивне значення.

У вертикальному еліпсу основна ось паралельна осі y і проходить через вершини еліпса. Знайдіть вершини, додавши та віднімаючи $$a$$ від координати y ($$k$$) центра.

V2-Propertiesofellipses-TextUnit162

V2-Propertiesofellipses-TextUnit163

V2-Propertiesofellipses-TextUnit164

V2-Propertiesofellipses-TextUnit166

V2-Propertiesofellipses-TextUnit167

V2-Propertiesofellipses-TextUnit168

V2-Propertiesofellipses-TextUnit169

$$f=\sqrt{169-144}$$

$$f=\sqrt{25}$$

$$f=5$$

Оскільки $$f$$ представляє відстань, воно має тільки позитивне значення.

У вертикальній еліпсі основна вісь проходить паралельно до осі y і через фокуси.
Знайдіть фокуси, додавши та віднімши $$f$$ з координати y $$\left(k\right)$$ центра.

Щоб знайти фокус_1, додайте $$f$$ до координати y $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=5$$
Фокус_1: $$\left(0,0+5\right)$$
Фокус_1: $$\left(0,5\right)$$

Щоб знайти фокус_2, відніміть $$f$$ від координати y $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=5$$
Фокус_2: $$\left(0,0-5\right)$$
Фокус_2: $$\left(0,-5\right)$$

Використовуйте формулу для обчислення площі еліпса для знаходження площі еліпса:
$$\pi ·a·b$$
$$a=13$$
$$b=12$$
уважайте $$a$$ та $$b$$ в формулу та спростіть:

$$\pi ·13·12$$

$$\pi ·156$$

Площа дорівнює $$156\pi$$

Щоб знайти x-перетин(и), підставте $$0$$ у якість $$y$$ у стандартне рівняння еліпса і розв'яжіть отримане квадратне рівняння щодо $$x$$.
Натисніть тут, щоб отримати поетапне пояснення квадратного рівняння.

$$\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{169}=1$$

$$\frac{x^2}{144}+\frac{0^2}{169}=1$$

$$x_1=12$$

$$x_2=-12$$

Щоб знайти y-перетин(и), підставте $$0$$ у якість $$x$$ у стандартне рівняння еліпса і розв'яжіть отримане квадратне рівняння щодо $$y$$.
Натисніть тут, щоб отримати поетапне пояснення квадратного рівняння.

$$\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{169}=1$$

$$\frac{0^2}{144}+\frac{y^2}{169}=1$$

$$y_1=13$$

$$y_2=-13$$

Щоб знайти ексцентриситет, використовуйте формулу:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=169$$
$$b^2=144$$
$$a=13$$
Підставте $$a^2$$ , $$b^2$$ та $$a$$ в формулу:

$$\frac{\sqrt{169-144}}{13}$$

$$\frac{\sqrt{25}}{13}$$

$$\frac{5}{13}$$

$$\frac{5}{13}$$

Ексцентриситет дорівнює $$0,385$$