Рішення - Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою доповнення до квадрату

Оскільки $$a=9$$, поділіть усі коефіцієнти та константи на обидві сторони рівняння на $$9$$:

$$9x^2-37x+31=0$$

$$\frac{9}{9}{x}^2-37\frac{x}{9}+\frac{31}{9}=\frac{0}{9}$$

$$x^2-\frac{37}{9}x+\frac{31}{9}=0$$

Коефіцієнти дорівнюють:
$$a=1$$
$$b=-\frac{37}{9}$$
$$c=\frac{31}{9}$$

Додайте $$\frac{31}{9}$$ до обох сторін рівняння:

$$x^2-\frac{37}{9}x+\frac{31}{9}=0$$

$$x^2-\frac{37}{9}x+\frac{31}{9}-\frac{31}{9}=0-\frac{31}{9}$$

$$x^2-\frac{37}{9}x=-\frac{31}{9}$$

Щоб перетворити ліву сторону рівняння в ідеальний квадратний тричлен, додайте до рівняння нову константу, яка дорівнює $${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ :

$$b=-\frac{37}{9}$$

Додайте $$\frac{1369}{324}$$ до обох сторін рівняння:

Тепер у нас є ідеальний квадратний тричлен, ми можемо записати його у формі ідеального квадрату, додавши до нього половину коефіцієнту $$b$$, $$\frac{b}{2}$$ :
$$b=-\frac{37}{9}$$

$$x^2-\frac{37}{9}x+\frac{1369}{324}=\frac{253}{324}$$

$${\left(x-\frac{37}{18}\right)}^2=\frac{253}{324}$$

Знайдіть квадратний корінь з обох сторін рівняння: ВАЖЛИВО: При знаходженні квадратного кореня з константи, ми отримуємо два розв'язки: позитивний і негативний

$${\left(x-\frac{37}{18}\right)}^2=\frac{253}{324}$$

$$\sqrt{{\left(x-\frac{37}{18}\right)}^2}=\sqrt{\frac{253}{324}}$$

$$x-\frac{37}{18}=\pm \sqrt{\frac{253}{324}}$$

$$x-\frac{37}{18}+\frac{37}{18}=\frac{37}{18}\pm \sqrt{\frac{253}{324}}$$

$$x=\frac{37}{18}\pm \sqrt{\frac{253}{324}}$$

$$x=\frac{37}{18}\pm \frac{\sqrt{253}}{\sqrt{324}}$$

$$x=\frac{37}{18}\pm \frac{\sqrt{253}}{18}$$

$$x_1=\frac{37}{18}+\frac{\sqrt{253}}{18}$$
$$x_2=\frac{37}{18}-\frac{\sqrt{253}}{18}$$